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Chapitre 3  Pour trouver les premières décimales de π

3.1  La formule de Gregory

La série de Gregory est le développement en série entière de arctan(x)
On a :

arctan(x)=x
x3
3
+
x5
5
+...+(−1)k
x2k+1
2k+1
+...

Le reste de cette série alternée est du signe du premier terme négligé et est majoré en valeur absolue par la valeur absolue du premier terme négligé.

3.2  La formule de Machin

De la formule d’addition des tangentes à savoir :

tan(a+b)=
tan(a)+tan(b)
1−tan(a)*tan(b)

on en déduit la formule pour ab<1 :

arctan(a)+arctan(b)=arctan(
a+b
1−ab
)

Exercices :
1/ Pour a=1/5 on cherche b pour que :

arctan(a)+arctan(b)=arctan(1)=
π
4

On doit donc résoudre :

a+b
1−ab
=1

On trouve :

b=
1−a
1+a
=
2
3

Donc :

arctan(
1
5
)+arctan(
2
3
)=
π
4

2/ Pour a=1/5 on cherche b pour que :

arctan(a)+arctan(b)=arctan(
2
3
)

On doit donc résoudre :

a+b
1−ab
=c=
2
3

On trouve :

b=
ca
1+ac
=
2
3
1
5
1
2
15
=
7
17

Donc :

2arctan(
1
5
)+arctan(
7
17
)=
π
4

3/ En faisant encore deux fois le même genre de substitution, montrer la formule de Machin :

4arctan(
1
5
)−arctan(
1
239
)=
π
4

Pour cela on prend successivement :
c=7/17 et on trouve b=ca/1+ac=9/46 et
c=9/46 et on trouve b=ca/1+ac=−1/239
4/ Écrire un programme qui prend en entrée a et n et qui renvoie la liste L des valeurs de bk vérifiant :
karctan(a)+arctan(bk)=π/4 pour k=1..n (L[k−1]=bk)
On tape le programme :

machin1(a,n):={
local k,c,L;
c:=1;
L:=[];
for (k:=1;k<n+1;k:=k+1) {
c:=(c-a)/(1+a*c);
L:=append(L,c);
}
return(L);
};

On tape :
machin1(1/5,5)
On obtient :
[2/3,7/17,9/46,1/-239,-122/597]
On tape :
machin1(1/3,5)
On obtient :
[1/2,1/7,-2/11,-17/31,-41/38]
Ainsi :
2arctan(1/3)+arctan(1/7)=π/4

3.3  Les décimales de π avec les formules précédentes

3.3.1  Une remarque

Si on utilise pour calculer π la formule :

arctan(x)=x
x3
3
+
x5
5
+...+(−1)k
x2k+1
2k+1
+...


Si on prend x=1, on a arctan(1)=π/4=1−1/3+1/5+...+(−1)k1/2k+1+... mais la convergence est lente.
On remarque que la convergence est beaucoup plus rapide pour x=1/5 et encore plus rapide pour x=1/239 d’où l’utilisation de la formule :

π
4
=4arctan(
1
5
)−arctan(
1
239
)

3.3.2  Le programme avec Xcas

Pour calculer la somme de n termes de la série on va utiliser la méthode de Hörner pour faire le moins possibles de multiplications, on a :
arctan(x)=x(1−x2(1/3−x2(1/5−x2(....−x2(1/2n−1)))))
L’utilisateur doit rentrer la valeur a de x et le nombre n de termes de la série.

gregory(a,n):={
local t,k;
t:=1/(2*n-1);
for (k:=2*n-3;k>0;k:=k-2) {
t:=1/k-a^2*t;
}
return (a*t);
};

On tape :
16*gregory(1/5,18)-4*gregory(1/239,6)
On obtient :
3.14159265359 On tape :
evalf(16*gregory(1/5,42)-4*gregory(1/239,20))
On obtient (si on a choisit 60 Chiffres dans le cas set_up que l’on ouvre avec le bouton rouge cas):
3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494

3.3.3  Combien faut-il calculer de termes ?

Soit Rn(x) le reste de la série ∑k=1(−1)k+1x2k−1/2k−1 : Rn(x)=∑k=n+1(−1)k+1x2k−1/2k−1.
On sait que |Rn(x)|<|x|2n+1/2n+1 Pour avoir |Rn(1/5)|=|Rn(0.2)|<10−61 il faut que :
22n+1<(2n+1)102n−60 et comme 210≃ 103 cela donne si on suppose 2n+1>10 :
10(6n+3)/10<102n−59 soit 593<14n soit n≃ 42 On vérifie pour n=42 on a (1/5)85/85<2.56e−62
On peut aussi écrire si on suppose que 2n+1>10 :
|x|2n+1/2n+1<x2n+1/10<10−61 donc on va choisir x2n+1<10−60 soit (2n+1)log10(x)<−60 ou encore n>((−60)/log10(x)−1)/2 Pour x=1/5 on a n>42.4202967422 et comme 2n+1>40 on peut améliorer la majoration |x|2n+1/2n+1<x2n+1/40<10−61
ce qui donne n>((−60+log10(4))/log10(1/5)−1)/2=41.9896201841 donc on prend n=42
pour x=1/293 on a n>11.66 donc on prend n=12 et on vérifie : (1/239)25/25=1.38711499837e−61.
On choisit 62 Chiffres dans le cas set_up que l’on ouvre avec le bouton rouge cas) et on tape :
evalf(16*gregory(1/5,42)-4*gregory(1/239,12))
On obtient :
3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749446
On tape :
evalf(pi)
On obtient :
3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749446
Remarque
Avec cette méthode John Machin calcula 100 décimales de π en 1706.

3.3.4  Les formules de même type que celles de Machin

En 1973, Jean Guilloud a mis une journée pour calculer 106 décimales de π en utilisant une formule de même type à savoir :

6arctan(
1
8
)+2arctan(
1
57
)+arctan(
1
239
)=
π
4

en vérifiant ses calculs avec la formule analogue :

12arctan(
1
18
)+8arctan(
1
57
)−5arctan(
1
239
)=
π
4

En 1999, Yasumata Kanadaa a atteint le record en calculant 12411* 108 décimales de π en utilisant une formule de même type à savoir :

24arctan(
1
12943
)−12arctan(
1
682
) +44arctan(
1
57
)+7arctan(
1
239
)=
π
4

et la formule analogue :

12arctan(
1
49
)+32arctan(
1
57
)−5arctan(
1
239
)+12arctan(
1
110443
)=
π
4

On peut vérifier ces formules avec xcas, on tape par exemple :
tsimplify(12atan(1/49)+32atan(1/57)-5atan(1/239)+12atan(1/110443)) On obtient :
π/4
Comment trouver des formules de type Machin ?
Montrons pour cela que si aN et si a2+1=a1*a2 alors :
arctan(1/a)=arctan(1/(a+a1/)+arctan(1/(a+a2))
On a si xy<1, arctan(x)+arctan(y)=arctan((x+y)/(1−xy)) donc
arctan(1/(a+a1))+arctan(1/(a+a2))=arctan((2a+a1+a2)/((a+a1)(a+a2)−1))=arctan(1/a) puisque a1a2−1=a2, (a+a1)(a+a2)−1)=a2+a(a1+a2)+a2=a(2a+a1+a2).
On a donc :
a=1 a2+1=2=1*2 donc π/4=arctan(1)=arctan(1/2)+arctan(1/3)
a=2 a2+1=5=1*5 donc arctan(1/2)=arctan(1/3)+arctan(1/7)
a=3 a2+1=10=1*10=2*5 donc arctan(1/3)=arctan(1/4)+arctan(1/13)=arctan(1/5)+arctan(1/8
a=5 a2+1=26=1*26=2*13 donc arctan(1/5)=arctan(1/7)+arctan(1/18)=arctan(1/6)+arctan(1/31
a=7 a2+1=50=1*50=2*25 donc arctan(1/7)=arctan(1/8)+arctan(1/57)=arctan(1/9)+arctan(1/32)
On en déduit donc que :

π/4=2arctan(1/3)+arctan(1/7)
π/4=2arctan(1/3)+arctan(1/5)−arctan(1/18)
π/4=2arctan(1/3)+arctan(1/5)−arctan(1/18)
π/4=2arctan(1/3)+arctan(1/8)+arctan(1/57)
π/4=3arctan(1/3)−arctan(1/5)+arctan(1/57)

et en utilisant π/4=4arctan(1/5)−arctan(1/239) on retrouve facilement les 2 formules utilisées par Jean Guilloud :
6arctan(1/8)+(6−4)arctan(1/57)+arctan(1/239)=
6(π/4−2arctan(1/3))−4(π/4−3arctan(1/3)+arctan(1/5))−π/4+4arctan(1/5)=
π/4
et
12arctan(1/18)+8arctan(1/57)−5arctan(1/239)=
12(−π/4+2arctan(1/3)+arctan(1/5))+8(π/4−3arctan(1/3)+arctan(1/5))+5(π/4−4arctan(1/5))=π/4


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