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6.10.5  La fonction exponentielle integrale Ei : Ei

Ei a comme argument un nombre complexe a.
Ei calcule les valeurs de la fonction Ei au point a.
On a par définition :

Ei(x)=
x


t=−∞
exp(t)
t
 dt 

Pour x>0, on prolonge par la valeur principale de l’intégrale (les morceaux en 0 et 0+ se compensent). On a :

Ei(0)=−∞,    Ei(−∞)=0 

Lorsque l’on est proche de x=0 on sait que :

exp(x)
x
=
1
x
+1+
x
2!
+
x2
3!
+...+
xn
(n−1)!
.... 

on a donc pour x∈ ℂ−ℝ+, (la fonction est discontinue sur ℝ+) :

Ei(x)=ln(−x)+γ + x+
x2
2.2!
+
x3
3.3!
+...

où γ = la constante d’Euler = 0.57721566490..
sur l’axe x>0 on prend : Ei(x)=ln(x)+γ + x+x2/2.2!+x3/3.3!+...
On tape :

Ei(1.)

On obtient :

1.89511781636

On tape :

Ei(-1.)

On obtient :

-0.219383934396

On tape :

Ei(1.)-Ei(-1.)

On obtient :

2.11450175075

On tape :

int((exp(x)-1)/x,x=-1..1.)

On obtient :

2.11450175075

On tape :

evalf(Ei(-1)-sum((-1)^n/n/n!,n=1..100))

On obtient la constante d’Euler γ :

0.577215664901532860606507

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