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Chapitre 2  Fonctions et équations en terminale scientifique

2.1  Étude de f(x)=ln(x2−4x+3/1−x2)

  1. Domaine de définition
    On tape :
    solve(x^2-4x+3)
    On obtient :
    [1,3]
    On tape :
    solve(x^2-1)
    On obtient :
    [-1,1]
    On tape :
    normal((x^2-4x+3)/(1-x^2))
    On obtient :
    (-x+3)/(x+1)
    On tape :
    solve((x^2-4x+3)*(1-x^2)>0)
    On obtient :
    [((x>-1) && (x<1)),((x>1) && (x<3))]
    Donc f est définie sur ]−1;1[∪]1;3[ Mais on peut prolonger f par continuité en 1 en posant f(1)=ln(1)=0
  2. Dérivée
    On tape :
    factor(diff(ln((x^2-4x+3)/(1-x^2))))
    On obtient :
    4/((x-3)*(x+1))
    Or (x−3)*(x+1)<0 sur ]−1; 3[ donc f est :
    décroissante sur ]−1; 3[
    On cherche si f est dérivable en x=1, on tape :
    limit(ln((x^2-4x+3)/(1-x^2))/(x-1),x=1)
    On obtient :
    -1
    Donc f est dérivable en x=1 et sa dérivée vaut -1.
  3. Branches infinies
    On tape :
    limit(ln((x^2-4x+3)/(1-x^2)),x=-1,1)
    On obtient :
    +ininity
    On tape :
    limit(ln((x^2-4x+3)/(1-x^2)),x=3,-1)
    On obtient :
    -ininity
    Donc x=−1 et x=3 sont asymptotes.
    On tape :
    limit((2x^2-1)/(6x^2+x-2),x=-2/3,-1)
    On obtient :
    -infinity
  4. Graphe
    On tape :
    plotfunc(ln((x^2-4x+3)/(1-x^2)))
    affichage(droite(x=-1),droite(x=3),1), affichage(droite(y=-x+1),2)
    On obtient :

2.2  Résolution d’une équation

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