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Chapitre 11  Exemples de courbes en paramétrique

11.1  Les cycloïdes

11.1.1  La cycloïde

La courbe

Une cycloïde est le lieu d’un point M situé sur un cercle qui roule sans glisser sur une droite.
Si au départ M est à l’origine O, si le cercle C, de centre A et rayon R, roule sur l’axe des x, si P est le point de contact de C avec Ox lorsque C a tourné d’un angle t, on a :
OP=Rt,AP=−iR et AM=rotation(A,−t,AP)=−Ri(cos(−t)+isin(−t))=−Rsin(t)−Ri(cos(t) donc
OM=OP+PA+AM=Rt+iRRsin(t)−Ri(cos(t))=R(t−sin(t)+i(1−cos(t)) L’équation paramétrique d’une cycloïde est donc :

x=R(t−sin(t)); y=R(1−cos(t))

Avec Xcas
On tape :

R:=element(0..5);
plotparam(R*(t-sin(t)+i*(1-cos(t))),t,affichage=rouge);

On peut faire une animation pour voir le déplacement d’un point M d’un cercle C de rayon R lorsque C roule sur l’axe des x.
On tape :

R:=element(0..5);
plotparam(R*(t-sin(t)+i*(1-cos(t))),t=-10..10,affichage=rouge);
animation(seq('cercle(R*u+i*R,R)',u,-10,10,0.5));
animation(seq('M:=point(R*(u-sin(u)+i*(1-cos(u))))',u,-10,10,0.5));
animation(seq('segment( R*u+i*R, R*(u+i-i*exp(-i*u)))',u,-10,10,0.5));

On peut aussi faire une animation pour voir l’infuence du rayon R, mais ici, cela n’a pas beaucoup d’interêt.
On tape :

animation(seq('plotparam(R*(t-sin(t)+i*(1-cos(t))),
               t=-10..10,affichage=rouge)',R,0,3,0.1));

La longueur d’une arche de cycloïde

On peut calculer la longueur d’une arche de cycloïde.
On a : ds2=dx2+dy2 On tape :
tlin(diff(R*(t-sin(t)),t)^2+diff(R*(1-cos(t)),t)^2)
On obtient : 2*R^2+(-2*R^2)*cos(t)
On tape :
trigsin(halftan(2*R^2+(-2*R^2)*cos(t)) On obtient : 4*R^2*sin(t/2)^2
Quand t varie de 0 à 2π, la longueur d’une arche de cycloïde est :
normal(int(2*R*sin(t/2),t,0,2*pi))
On obtient : 8*R

11.1.2  La cycloïde raccourcie

Une cycloïde raccourcie est le lieu d’un point P situé sur un rayon AM du cercle de centre A qui roule sans glisser sur une droite.
Si AP=k*AM=k*R avec k<1, l’équation paramétrique d’une cycloïde raccourcie est donc :

x=R(tk*sin(t)); y=R(1−k*cos(t)) avec  k<1

Avec Xcas, on tape :

R:=element(0..3);
k:=element(0..1);
plotparam(R*(t-k*sin(t)+i*(1-k*cos(t))),t,affichage=rouge);

11.1.3  La cycloïde allongée ou trochoïde

Une cycloïde allongée ou trochoïde est le lieu d’un point Q situé sur le prolongement du rayon AM du cercle de centre A qui roule sans glisser sur une droite.
Si AQ=k*AM=k*R avec k>1, l’équation paramétrique d’une cycloïde allongée donc :

x=R(tk*sin(t)); y=R(1−k*cos(t))  avec  k>1

Avec Xcas, on tape :

R:=element(0..3);
k:=element(1..5);
plotparam(R*(t-k*sin(t)+i*(1-k*cos(t))),t,affichage=rouge);

11.1.4  Les cycloïdes

On peut faire une animation pour voir le déplacement d’un point M d’un cercle C de centre A et de rayon R, et d’un point P du rayon AM lorsque C roule sur l’axe des x.
On tape :

R:=element(0..3);
k:=element(0..5,0.84);
plotparam(R*(t-sin(t)+i*(1-cos(t))),t=-8..8,affichage=rouge);
plotparam(R*(t-k*sin(t)+i*(1-k*cos(t))),t=-8..8,affichage=vert);
animation(seq('cercle(R*u+i*R,R)',u,-8,8,0.5));
animation(seq('M:=point(R*(u-sin(u)+i*(1-cos(u))))',u,-8,8,0.5));
animation(seq('P:=point(R*(u-k*sin(u)+i*(1-k*cos(u))))',u,-8,8,0.5));
animation(seq('segment(R*u+i*R,R*(u+i-i*max(k,1)*exp(-i*u)))',u,-8,8,0.5));

On peut aussi faire une animation pour voir le déplacement d’un point M d’un cercle C de centre A et de rayon R, d’un point P du rayon AM et d’un point Q sur le prolongement du rayon AM lorsque C roule sur l’axe des x.
On tape :

R:=element(0..3);
k:=element(0 .. 1,0.84);
l:=element(1 .. 4,2);
plotparam(R*(t-sin(t)+i*(1-cos(t))),t=-10..10,affichage=rouge);
plotparam(R*(t-k*sin(t)+i*(1-k*cos(t))),t=-10..10,affichage=vert);
plotparam(R*(t-l*sin(t)+i*(1-l*cos(t))),t=-10..10,affichage=bleu);
animation(seq('cercle(R*u+i*R,R)',u,-10,10,0.5));
animation(seq('M:=point(R*(u-sin(u)+i*(1-cos(u))))',u,-10,10,0.5));
animation(seq('P:=point(R*(u-k*sin(u)+i*(1-k*cos(u))))',u,-10,10,0.5));
animation(seq('Q:=point(R*(u-l*sin(u)+i*(1-l*cos(u))))',u,-10,10,0.5));
animation(seq('segment( R*u+i*R, R*(u+i-i*l*exp(-i*u)))',u,-10,10,0.5));

11.2  Épicycloïde et hypocycloïde

11.2.1  Épicycloïde

Une épicycloïde est le lieu d’un point M situé sur un cercle C, de centre A et de rayon R, qui roule sans glisser sur un cercle C0, de rayon R0, lorsque C se trouve à l’extérieur de C0.
Si le cercle C0 est de centre O, si au départ M est en I sur Ox, si P est le point de contact de C avec C0 lorsque C a tourné d’un angle u, P a tourné d’un angle t sur C0, on a :
IP=R0t=Ru,
OA=(R+R0)(cos(t)+isin(t)), PA=R(cos(t)+isin(t)),
AM=rotation(A,u,AP)=−R(cos(t)+isin(t))(cos(u)+isin(u))=
R(cos(u+t)+isin(u+t))=−R(cos((R0/R+1)t)+isin((R0/R+1)t))
On a :
OM=OA+AM= (R+R0)(cos(t)+isin(t))−R(cos((R0/R+1)t)+isin((R0/R+1)t))
Si on pose R0/R+1=m, l’équation paramétrique d’une épicycloïde est donc :

x=R(mcos(t)−cos(mt));  y=R(msin(t)−sin(mt))

La courbe se referme si 2kπ R0=2nπ R c’est à dire si le rapport R0/R est rationnel.

Cas particuliers
R=R0 on a une cardioïde,
R=R0/2 on a une néphroïde de rebroussement,
Avec Xcas
On tape :

C:=cercle(0,3);
R:=element(0.1..4);
m:=3/R+1;
plotparam(R*m*cos(t)-R*cos(m*t)+i*(R*m*sin(t)-R*sin(m*t)),
          t=-10..10,affichage=rouge);

On a choisit R0=3. On peut ainsi faire varier R et voir les 4 cas :
R=1, R=1.5, R=3, R=4. On peut faire une animation et voir le déplacement d’un point M d’un cercle C de centre A et de rayon R lorsque ce cercle roule à l’extérieur d’un cercle C0 de centre 0 et de rayon 3.
On tape :

C:=cercle(0,3);
R:=element(0..5);
m:=3/R+1;
plotparam(R*m*cos(t)-R*cos(m*t)+i*(R*m*sin(t)-R*sin(m*t)),
       t=-10..10,affichage=rouge);
animation(seq('cercle((3+R)*exp(i*v),R)',v,-10,10,0.5));
animation(seq('M:=point(R*m*cos(v)-R*cos(m*v)+
       i*(R*m*sin(v)-R*sin(m*v)))',v,-10,10,0.5));

11.2.2  Hypocycloïde

Une hypocycloïde est le lieu d’un point M situé sur un cercle C, de centre A et de rayon R, qui roule sans glisser sur un cercle C0, de rayon R0>R, lorsque C se trouve à l’intérieur de C0.
On peut changer R en −R dans l’équation d’une épicycloïde ou refaire les calculs...
Si le cercle C0 est de centre O, si au départ M est en I sur Ox, si P est le point de contact de C avec C0 lorsque C a tourné d’un angle u, P a tourné d’un angle t sur C0, on a :
IP=R0t=−Ru (car u est négatif et R positif),
OA=(R0R)(cos(t)+isin(t)),
PA=−R(cos(t)+isin(t)),
AM=rotation(A,u,AP)=R(cos(t)+isin(t))(cos(u)+isin(u))=R(cos(u+t)+isin(u+t))=−R(cos((R0/R−1)t)+isin((R0/R−1)t))
On a :
OM=OA+AM=(R0R)(cos(t)+isin(t))−R(cos((R0/R−1)t)+isin((R0/R−1)t))
Si on pose −R0/R+1=m, l’équation paramétrique d’une hypocycloïde est donc :

x=−R(mcos(t)−cos(mt));  y=−R(msin(t)−sin(mt))

La courbe se referme si 2kπ R0=2nπ R c’est à dire si le rapport R0/R est rationnel.

Cas particuliers
R=2R0/3 on a une hypocycloïde à 3 rebroussements,
R=R0/4 on a une astroïde,
Avec Xcas
On tape :

C:=cercle(0,3);
R:=element(0..2.9);
m:=-3/R+1;
plotparam(-R*m*cos(t)+R*cos(m*t)+i*(-R*m*sin(t)+R*sin(m*t)),
           t,affichage=rouge)

On a choisit R0=3. On peut ainsi faire varier R et voir les 3 cas :
R=0.75, R=1.2, R=2.

On peut faire une animation et voir le déplacement d’un point M d’un cercle C de centre A et de rayon R lorsque ce cercle roule à l’intérieur d’un cercle C0 de centre 0 et de rayon 3.
On tape :

C:=cercle(0,3);
R:=element(0..3);
m:=3/R+1;
plotparam(R*m*cos(t)-R*cos(m*t)+i*(R*m*sin(t)-R*sin(m*t)),
       t,affichage=rouge);
animation(seq('cercle((3-R)*exp(i*v),R)',v,-10,10,0.5));
animation(seq('M:=point(-R*m*cos(v)+R*cos(m*v)+
       i*(-R*m*sin(v)+R*sin(m*v)))',v,-10,10,0.5));

11.2.3  Epicycloïde et hypocycloïde

On peut unifier les 2 cas en prenant R négatif pour les hypocycloïde. Avec Xcas
On tape :

C:=cercle(0,3);
R:=element(-3..4);
m:=3/R+1;
plotparam(R*m*cos(t)-R*cos(m*t)+i*(R*m*sin(t)-R*sin(m*t)),
          t=-10..10,affichage=rouge)

On a choisit R0=3. On peut ainsi faire varier R et voir les différents cas :
R=−1.2, R=−1, R=−0.75, R=1, R=1.5, R=3, R=4. On peut faire une animation et voir le déplacement d’un point M d’un cercle C de centre A et de rayon |R| lorsque ce cercle roule (à l’intérieur si R<0 et à l’extérieur si R>0) sur le cercle C0 de centre 0 et de rayon 3.
On tape :

C0:=cercle(0,3);
R:=element(-3..4);
m:=3/R+1;
plotparam(R*m*cos(t)-R*cos(m*t)+i*(R*m*sin(t)-R*sin(m*t)),
       t=-10..10,affichage=rouge);
animation(seq('cercle((3+R)*exp(i*v),R)',v,-10,10,0.5));
animation(seq('M:=point(R*m*cos(v)-R*cos(m*v)+
       i*(R*m*sin(v)-R*sin(m*v)))',v,-10,10,0.5));
animation(seq('segment((3+R)*exp(i*v),R*m*cos(v)-R*cos(m*v)+
       i*(R*m*sin(v)-R*sin(m*v)))',v,-10,10,0.5));

11.3  L’astroïde

On pourra se reporter à la session astroide.xws.

11.3.1  La courbe

Définition On déplace un segment AB de longueur constante a de façon que A soit sur 0x et B sur Oy.
L’astroïde est l’enveloppe de ce segment. L’astroïde est aussi le lieu de la projection M de C sur AB, lorsque OACB est un rectangle. Si OACB est un rectangle et si t est l’angle 0x,0C, on a :
0A=acos(t) et 0B=asin(t)
La droite AB a donc comme équation :
x/(acos(t))+y/(asin(t))=1 ou encore
x*tan(t)+y=asin(t)
L’enveloppe de la droite AB est le lieu des points d’intersection de :
x*tan(t)+y=asin(t) et de x/cos(t)2=acos(t)
donc x=acos(t)3 et y=asin(t)−asin(t)*cos(t)2=asin(t)3.
L’astroïde a donc comme équation paramètrique : x=acos(t)3;y=asin(t)3.
On tape :
plotparam(cos(t)^3+i*sin(t)^3,t)

11.3.2  La longueur de cette courbe

On peut calculer la longueur d’un quart d’astroïde.
On a : ds2=dx2+dy2
On tape :
tlin(diff(a*cos(t)^3,t)^2+diff(a*sin(t)^3,t)^2)
On obtient : (9*a^2)/8+(-((9*a^2)/8))*cos(4*t)
On tape :
trigsin(halftan((9*a^2)/8+(-((9*a^2)/8))*cos(4*t)))
On obtient : 9/4*a^2*sin((4*t)/2)^2
Quand t varie de 0 à 2π, la longueur d’un quart d’astroïde est :
normal(int( 3/2*a*sin(2*t),t,0,pi/2))
On obtient : 3/2*a
On a la longueur de l’astroïde est donc : 6*a

11.4  Un exercice

11.4.1  L’énoncé

On considère la fonction g ℝ−>ℂ définie par : g(t)=∑n=0+∞ei2nt/2n

  1. Montrer que g est périodique.
    Calculer g(−t) et supt∈ ℝ|g(t)|.
    Majorer l’erreur commise lorsqu’on prend : ∑n=020ei2nt/2n comme valeur approchée de g(t)
  2. En utilisant Xcas dessiner l’image de ℝ par cette approximation de g.

11.4.2  Le corrigé

  1. On a g(t+2π)=g(t) donc g est périodique de période 2π.
    On a g(−t)=g(t).
    On a |ei2nt/2n|<1/2n donc supt∈ ℝ|g(t)|<=∑n=0+∞1/2n=2.
    Si on prend : ∑n=020ei2nt/2n comme valeur approchée de g(t) l’erreur commise est inférieure à : ∑n=21+∞1/2n=1/220<1e−06
  2. On définit la fonction g et on tape :
    g(t):=sum(exp(i*2^n*t)/2^n,n=0..20)
    L’image de ℝ par g est la courbe en paramétrique définie par g. On tape :
    plotparam(g(t),t=0..pi);plotparam(g(t),t=pi..2pi,affichage=1)
    On visualise la symétrie de la courbe par rapport à l’axe des x, symétrie due au fait que g(−t)=g(t) et on obtient :
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