Imaginez qu’avec une ficelle vous fassiez le tour de la terre. Puis vous
rajoutez un mètre à cette ficelle et vous ceinturez à nouveau la terre.
À quelle distance du sol va alors se trouver la ficelle ?
Même question avec une balle de tennis.
Si r est le rayon de la terre en mètre (ou de la balle de tennis), son
périmètre est donc : 2π r. La ficelle va donc mesurer 2π r+1 et
cela correspond à un rayon R vérifiant 2π r+1=2π R.
Donc 2π (R−r)=1 c’est à dire R−r=1/(2π).
On tape :
evalf(1/2/pi)
On obtient :
0.159154943092
Donc quelque soit le rayon de la sphère la ficelle va être à environ
15.9 cm de la surface de la sphère.
On perce un cercle de rayon R avec un cercle de même centre et de rayon r. Quelle est l’aire de ce cercle trouè. Exprimer cette aire en fonction de
d=√R2−r2.
On sait que l’aire d’un cercle de rayon R est : π R2
L’aire du cercle troué est donc :
π(R2−r2)=π d2 |
L’aire d’un cercle troué est égale à l’aire du cercle de rayon d où d est la longueur de la demi-corde qui est tangente au trou.
On note R le rayon de la spère, r le rayon de la base de la calotte et
h la hauteur de la calotte et on suppose que 0<h<R. 0n a donc :
r2=R2−(R−h)2
On tape :
assume(R>0 and h>0 and h<R)
On calcule une intégrale triple :
∫02*π(∫0r(∫0√R2−r2dz)*ρ dρ)dθ
On tape :
^
2-ro^
2))*ro,^
2-(R-h)^
2)),t,0,2*pi))
On obtient :
(h^
2*pi*(3*R-h))/3
Donc le volume de la calotte de hauteur h d’une spère de rayon R est :
VC=π h2 |
|
Vérification
On sait que le volume d’une sphère de rayon R est : 4/3π R3
Le volume de 2 calottes sphériques de rayon R a pour hauteur R est :
2π R23*R−R/3=4/3π R3
On perce une sphère de rayon R avec un cylindre ayant pour axe un
diamètre de la sphère et comme base un cercle de rayon r. Quelle est le
volume de cette sphère trouèe. Exprimer ce volume en fonction de
d=√R2−r2.
Avec les notations précédentes on a enlevé à la sphère :
un cylindre ayant comme base un cercle de rayon r comme hauteur 2d et
comme volume 2π r2d=2π (R2−d2)d et,
2 calottes sphériques ayant comme base
un cercle de rayon r et ayant comme hauteur h=R−d.
On sait que le volume d’une sphère de rayon R est : 4/3π R3
Le volume de cette sphère trouèe est donc :
| π R3−2π h2 |
| −2π r2d |
On tape :
factor(2*pi/3*(2*R^
3-(R-d)^
2*(3*R-(R-d))-3*(R^
2-d^
2)*d))
On obtient :
(4*d^
3*pi)/3
Donc le volume d’une spère de rayon R trouée par un cylindre d’axe un
diamètre et de hauteur 2d est :
VST= |
| π d3 |
c’est à dire le volume d’une spère de rayon R trouée par un cylindre d’axe un diamètre et de hauteur 2d est égal au volume d’une sphère de rayon d.