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Chapitre 19  Des calculs de différentes sommes

19.1  Calcul de ∑k=1nkp pour p=1,2,3

19.1.1  Calcul de s1(n)=∑k=1nk)

On a :
2*s1=∑k=1nk)+∑k=1nn+1−k)=∑k=1nn+1)=n(n+1)
Donc :

s0(n)=
n(n+1)
2

On peut aussi remarquer que :
p(p+1)−(p−1)p=2p
Donc que :
2s1=∑p=1n2p=∑p=1n(p(p+1)−(p−1)p)=n(n+1)
Avec Xcas, on tape :
sum(k,k=1..n)
On obtient :
(n*(n+1))/2 Remarque
On peut en déduire le calcul de s=∑k=1n(2k−1)).
On a en effet :
s=2∑k=1nkn=n*(n+1)−n=n2
On aurait aussi pu remarquer que :
2p−1=p2−(p−1)2
Donc que :
s=∑p=1n2p−1=∑p=1n(p2−(p−1)2)=n2
Avec Xcas, on tape :
normal(sum(2k-1,k=1..n))
On obtient :
n^2

19.1.2  Calcul de s2(n)=∑k=1nk2

On a :
13=1
23=13+3*12+3*1+1
....
k3=(k−1)3+3*(k−1)2+3*(k−1)+1
(k+1)2=k3+3*k2+3*k+1
....
n3=(n−1)3+3*(n−1)2+3*(n−1)+1
(n+1)3=n3+3*n2+3*n+1
En sommant tous les termes :
(n+1)3=3*∑k=1nk2+3∑k=1nk+n=3s2+3n(n+1)/2+n+1
Donc :
3s2(n)=(n+1)((n+1)2−3n/2−n−1)=(n+1)(2n2+n)/2

s2(n)=
n(n+1)(2*n+1)
6

On peut aussi remarquer que :
p(p+1)(2p+1)−(p−1)p(2p−1)=6p2
Donc que :
6s2=∑p=1n6p2=∑p=1n(p(p+1)(2p+1)−(p−1)p(2p−1))=n(n+1)(2*n+1)
Avec Xcas, on tape :
factor(sum(k^2,k=1..n))
On obtient :
n*(n+1)*(2*n+1)/6

19.1.3  Calcul de s3(n)=∑k=1nk3

On a :
14=1
24=14+4*13+6*12+4+1
....
k4=(k−1)4+4*(k−1)3+6*(k−1)2+4*(k−1)+1
(k+1)4=k4+4*k3+6*k2+4*k+1
....
(n+1)4=n4+4*n3+6n2+4*n+1
Donc :
(n+1)4=n4+4s3(n)+6s2(n)+4s1(n)+n Donc : 4s3(n)= (n+1)4n*(n+1)*(2*n+1)−2n(n+1)−n−1=(n+1)((n+1)3n(2*n+1)−2n−1)
4s3(n)=(n+1)2((n+1)2−(2*n+1))=(n+1)2n2

s3(n)=
n2(n+1)2
4

On peut aussi remarquer que :
p2(p+1)2−(p−1)2p2=4p3
Donc que :
4s3=∑p=1n4p2=∑p=1n(p2(p+1)2−(p−1)2p2)=n2(n+1)2
Avec Xcas, on tape :
factor(sum(k^3,k=1..n))
On obtient :
(n^2*(n+1)^2)/4

19.2  Calcul de ∑k=0nkpcomb(n,k) pour p=0,1,2,3

19.2.1  Calcul de s0(n)=∑k=0ncomb(n,k)

On sait que :
(a+b)n=∑k=0ncomb(n,k)akbnk
donc
s0(n)=∑k=0ncomb(n,k)=(1+1)n=2n
Donc :

s0(n)=2n

Avec Xcas, on tape :
sum(comb(n,k),k=0..n)
On obtient :
2^n

19.2.2  Calcul de s1(n)=∑k=0nk*comb(n,k)

On sait que :
comb(n,k)=n!/k!(nk)!
Donc :
k*comb(n,k)=n*comb(n−1,k−1)
On a :
s1(n)=∑k=0nk*comb(n,k)=∑k=1nk*comb(n,k)=
n*∑k=1ncomb(n−1,k−1)=n*∑k=0n−1comb(n−1,k)=n*2n−1
Donc :

s1(n)=n*2n−1

Avec Xcas, on tape :
sum(k*comb(n,k),k=0..n)
On obtient :
n*2^(n-1)

19.2.3  Calcul de s2(n)=∑k=0nk2*comb(n,k)

On sait que :
comb(n,k)=n!/k!(nk)! et
k=0nk*comb(n,k)=n*2n−1
Donc :
k2*comb(n,k)=n*k*comb(n−1,k−1) On a :
s2(n)=∑k=0nk2*comb(n,k)=∑k=1nk2*comb(n,k)=
n*∑k=1nk*comb(n−1,k−1)=n*∑k=0n−1(k+1)*comb(n−1,k)=
n*∑k=0n−1k*comb(n−1,k)+n*∑k=0n−1comb(n−1,k)=
n*(n−1)*2n−2+n*2n−1=n(n+1)2n−2=n(s(n−1)+s0(n−1))
Donc :

s2(n)=n(n+1)2n−2

Avec Xcas, on tape :
s2:=sum(k^2*comb(n,k),k=0..n)
factor(subst(s2,2^(n-1),2*2^(n-2))) On obtient :
n*(n+1)*2^(n-2)

19.2.4  Calcul de ∑k=0nk3*comb(n,k)

On sait que :
comb(n,k)=n!/k!(nk)! et
k=0nk2*comb(n,k)=n(n+1)2n−2
Donc :
s3(n)=k3*comb(n,k)=n*k2*comb(n−1,k−1) On a :
k=0nk3*comb(n,k)=∑k=1nk3*comb(n,k)=
n*∑k=1nk2*comb(n−1,k−1)=n*∑k=0n−1(k+1)2*comb(n−1,k)=
n(s2(n−1)+2*s1(n−1)+s0(n−1))=
n(n(n−1)*2n−3+2(n−1)2n−2+2n−1)=n(n(n−1)+4(n−1)+4)2n−3=n2(n+3)2n−3
Donc :

s3(n)=n2(n+3)2n−3

Avec Xcas, on tape :
s3:=sum(k^3*comb(n,k),k=0..n)
factor(subst(subst(s3,2^(n-2),2^(n-3)*2),2^(n-1),2^(n-3)*4))
On obtient :
n^2*(n+3)*2^(n-3)

19.3  Calcul de ∑k=1n1/f(k)

19.3.1  Calcul de ∑k=1n1/k(k+1)

On remarque que :
1/k(k+1)=1/k−1/k+1
Donc que :
s=∑k=1n1/k(k+1)=∑k=1n1/k−1/k+1=1−1/n+1=n/n+1
Avec Xcas, on tape :
normal(sum(1/(k*(k+1)),k=1..n))
On obtient :
n/(n+1)

19.3.2  Calcul de s=∑k=1n1/(2k−1)(2k+1)

On remarque que :
2/(2k−1)(2k+1)=1/2k−1−1/2k+1
Donc que :
2s=∑k=1n1/(2k−1)(2k+1)=∑k=1n1/2k−1−1/2k+1=1−1/2n+1=2n/2n+1
Donc :

s=
n
2n+1

Avec Xcas, on tape :
normal(sum(1/((2k-1)*(2k+1)),k=1..n))
On obtient :
n/(2n+1)

19.3.3  Calcul de ∑k=1n1/k(k+2)

On remarque que :
2/(k)(k+2)=1/k−1/k+2
Donc que :
2s=∑k=1n1/k(k+2)=∑k=1n1/k−1/k+2=∑p=1n1/p−∑p=3n+21/p=1+1/2−1/n+1−1/n+2=3*n2+5*n/2*n2+6*n+4
Donc :

s=
3*n2+5*n
4*n2+12*n+8

Avec Xcas, on tape :
normal(sum(1/(k*(k+2)),k=1..n))
On obtient :
(3*n^2+5*n)/(4*n^2+12*n+8)

19.3.4  Calcul de ∑k=1n1/k(k+1)(k+2)

On tape : partfrac(1/(k*(k+1)*(k+2)),k)
On obtient :
1/(k*2)-1/(k+1)+1/((k+2)*2)
Donc :
2*s=∑k=1n1/k−1/(k+1)−(1/(k+1)−1/(k+2))=
p=1n1/p−1/(p+1)−∑k=2n+11/p−1/(p+1)=
2s=1−1/2−1/n+1+1/(n+2)=(n2+3*n)/(2*n2+6*n+4) Donc :

s=
n2+3*n
4*n2+12*n+8

Avec Xcas, on tape :
normal(sum(1/(k*(k+2)),k=1..n))
On obtient :
(n^2+3*n)/(4*n^2+12*n+8)

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