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6.7.23  Restes chinois : ichinrem, ichrem

ichinrem([a,p],[b,q]) ou ichrem([a,p],[b,q]) désigne une liste [c,lcm(p,q)] formée de deux entiers.
Le premier nombre c est tel que

∀ k ∈ ℤ,    d=ck × lcm(p,q

l vérifie

d=a (mod p ),    d=b (mod q ) 

Si p et q sont premiers entre eux, il existe toujours une solution d et toutes les solutions sont alors congrues modulo p*q
Exemples :
Trouver les solutions de :



x=3 (mod 5)
x=9 (mod 13) 

On tape :

ichinrem([3,5],[9,13])

ou on tape :

ichrem([3,5],[9,13])

On obtient :

[-17,65]

ce qui veut dire que x=-17 (mod 65)
On peut aussi taper :

ichrem(3% 5,9% 13)

On obtient :

-17% 65

Trouver les solutions de :





x=3 (mod 5)
x=4 (mod 7) 
x=1 (mod 9)

On tape tout d’abord :

tmp:=ichinrem([3,5],[4,7])

ou on tape :

tmp:=ichrem([3,5],[4,7])

On obtient :

[-17,35]

puis on tape

ichinrem([1,9],tmp)

ou on tape :

ichrem([1,9],tmp)

On obtient :

[-17,315]

ce qui veut dire que x=-17 (mod 315)
On peut aussi taper directement :

ichinrem([3% 5,4% 7,1% 9])

On obtient :

-17% 315

Remarque
ichrem (ou ichinrem) peut aussi être utiliser pour trouver les coefficients de polynômes qui sont connus modulo plusieurs entiers, par exemple trouver ax+b modulo 315=5 × 7 × 9 tel que :





a=3 (mod 5)
a=4 (mod 7) 
a=1 (mod 9) 
,   




b=1 (mod 5)
b=2 (mod 7) 
b=3 (mod 9) 

On tape :

ichrem((3x+1)% 5,(4x+2)% 7,(x+3)% 9)

On obtient :

(-17% 315× x+156% 315

ce qui veut dire que a=-17 (mod 315) et b=156 (mod 315).


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