Ce sont les courbes qui ont comme équation, dans un repère Oxy, P(x,y)=0 où P est un polynôme de degré inférieur ou égal à 2.
L’équation cartésienne d’une droite non parallèle à l’axe Oy est
y=a*x+b.
Avec Xcas
Si on veut voir l’influence de a et b on tape dans un écran de
géométrie :
a:=element(-4..5); b:=element(-4..2); droite(y=a*x+b);
L’équation cartésienne d’une droite quelconque est m*x+n*y+p=0 : son
vecteur normal est m+i*n et elle passe par le point −i*p/n si n≠ 0 ou
par le point −p/m si m≠ 0 (on suppose m*n ≠ 0).
L’équation paramétrique d’une droite passant par le point A=x0+i*y0 et
parallèle au vecteur V=u+i*v est x(t)=x0+u*t, y(t)=y0+v*t (on suppose
u*v ≠ 0).
Avec Xcas
si on veut voir l’influence de A, u et v on tape dans un écran de
géométrie :
A:=point(0,1); u:=element(-4..5); v:=element(-4..2); plotparam(re(A)+u*t+i*(im(A)+v*t),t); plotparam(evalc(A+(u+i*v)*t),t) //plotparam(A+(a+i*b)*t,t);
L’équation paramétrique d’une droite passant par le point A=x0+i*y0 et
le point B=x1+i*y1 est
x(t)=x0+t*x1/1+t, y(t)=y0+t*y1/1+t
(si t ≠ −1).
Avec Xcas
Si on veut voir l’influence de A et B on tape dans un écran de
géométrie :
A:=point(1,0); B:=point(0,1); plotparam(affixe(A+B*t)/(1+t),t); m:=element(-4..5); M:=point((A+B*m)/(1+m));
L’équation cartésienne d’un cercle centré à l’origine et
de rayon |a| est :
x2+y2=a2.
Avec Xcas
Si on veut voir l’influence de a on tape dans un écran de
géométrie :
a:=element(0..5); plotfunc(sqrt(a^2-x^2),x); plotfunc(-sqrt(a^2-x^2),x);
L’équation cartésienne d’un cercle centré en A=x0+i*y0 et
de rayon |a| est (x−x0)2+(y−y0)2=a2.
L’équation paramétrique d’un cercle centré en A=x0+i*y0 et
de rayon |a| est
x(t)=x0+|a|*cos(t), y(t)=y0+|a|*sin(t).
Avec Xcas
Si on veut voir l’influence de A et de a on tape dans un écran de
géométrie :
A:=point(0,1); a:=element(0..5); plotparam(affixe(A)+a*cos(t)+i*a*sin(t),t)
Pour avoir un demi-cercle pour t allant de −π/2 à π/2, on tape dans un écran de géométrie :
A:=point(0,1); a:=element(0..5); plotparam(affixe(A)+a*cos(t)+i*a*sin(t),t=-pi/2..pi/2)
L’équation polaire d’un cercle centré à l’origine est
r=|a|.
Avec Xcas
Si on veut voir l’influence de a on tape dans un écran de
géométrie :
A:=point(0,1); a:=element(0..5); plotpolar(a,t);
Le cercle centré en A=x0+i*y0 est le translaté du précédent dans
la translation de vecteur l’affixe du point A.
Si on veut voir l’influence de A et de a on tape dans un écran de
géométrie :
A:=point(0,1); a:=element(0..5); translation(affixe(A),plotpolar(a,t))
L’équation polaire d’un cercle passant par l’origine et de diamètre OA=d
avec (Ox,OA)=t0
r=d*cos(t−t0).
Avec Xcas
Si on veut voir l’influence de a on tape dans un écran de
géométrie :
A:=point(0,1); a:=affixe(A); plotpolar(abs(a)*cos(t-arg(a)),t);
Le cercle centré en B=x0+i*y0 est le translaté du précédent dans
la translation de vecteur l’affixe du point B.
Avec Xcas
Si on veut voir l’influence de A et de B on tape dans un écran de
géométrie :
A:=point(1,0); B:=point(0,1); ba:=affixe(A-B); translation(affixe(B),plotpolar(abs(ba)*cos(t-arg(ba)),t));
L’équation cartésienne d’une ellipse centrée en A=x0+i*y0
et de demi-axes de longueur |a| et |b| est :
(x−x0)2/a2+(y−y0)2/b2=1
on a a2=b2+c2 et AF=AF′=|c| si F et F′ sont les foyers.
L’équation paramétrique d’une ellipse centrée en A=x0+i*y0 est :
x(t)=x0+a*cos(t), y(t)=y0+a*sin(t).
Avec Xcas
Si on veut voir l’influence de A et de a on tape dans un écran de
géométrie :
A:=point(0,1); a:=element(0..5); plotparam(affixe(A+a*cos(t)+i*b*sin(t)),t)
Remarque
On peut aussi utiliser les commandes :
ellipse, conique et conique_reduite.
L’équation cartésienne d’une hyperbole centrée en A=x0+i*y0
et de demi-axes de longueur |a| et |b| est :
(x−x0)2/a2−(y−y0)2/b2=1 (on a a2=b2+c2 et
AF=AF′=|c| si F et F′ sont les foyers).
L’équation paramétrique d’une hyperbole centrée en A=x0+i*y0 est
x(t)=x0+a*cosh(t), y(t)=y0+a*sinh(t).
Avec Xcas
Si on veut voir l’influence de A et de a on tape dans un écran de
géométrie :
A:=point(0,1); a:=element(0..5); plotparam(affixe(A+a*cosh(t)+i*b*sinh(t)),t)
Remarque
On peut aussi utiliser les commandes :
hyperbole, conique et conique_reduite.
L’équation cartésienne d’une parabole de sommet A=x0+i*y0 et
de directrice d d’équation x=a=x0−p/2 (où p/2 est la distance de A
à d) a pour équation :
(y−y0)2=4x(x0−a)−x0(x0−a)=4(x−x0)(x0−a)=2*p*(x−x0)
Par exemple, si p=3, x0=1 et y0=2, son sommet est A:=point(1,2),
son foyer F est défini par F:=point(1+3/2,2) et son
équation est :
(y−2)2=6*(x−1)
L’équation paramétrique d’une parabole est :
x0+t2/(2*p)+i(t+y0)
Avec Xcas
Si on veut voir l’influence de A et de p, on tape dans un écran de
géométrie :
A:=point(0,1); p:=element(-5..5); plotparam(affixe(A)+t^2/(2*p)+i*t,t)
Remarque
On peut aussi utiliser les commandes :
parabole, conique et conique_reduite.
En géométrie plane la définition est :
On appelle parabole le lieu géométrique du centre M d’un cercle tangent
à une droite d et passant par un point F.
d est la directrice de la parabole
F est le foyer de la parabole
la distance de F à d est le paramètre p de la parabole.
Une condition nécessaire et suffisante pour que M appartienne à la
parabole de foyer F et de directrice d est que M est équidistant de F
et de d.
En tout point la parabole admet une tangente.
Soit K est la projection de m sur d. La tangente en M est la
médiatrice du segment FK où K est la projection de m sur d et c’est
aussi la bissectrice de l’angle FMK.
Soit (P) une parabole de foyer F et de directrice d.
On suppose que des rayons lumineux perpendiculaires à d arrivent sur P
du même côté que F.
Alors tous les rayons réfléchis par la parabole perpendiculairement à d
passent par le foyer F.
En effet la tangente t en M est la bissectrice de l’angle FMK.
Question
Quelles sont les courbes qui ont cette propriété ?
On cherche donc les courbes telles que :
les rayons lumineux qui se réfléchissent sur sa surface
passent par tous par un même point F.
Si t est la tangente en M, On considère le point K situé dans le
prolongement du rayon incident et tel que KM=MF.
Soit I est le milieu de KM. On va montrer que K se déplace sur une
droite fixe d. Pour cela on prend
F comme origine d’un repère avec Fx parrallle au rayon incident.
On a donc la figure :
Soient (x,y) les coordonnées de M et a=KMI=IMF.
On suppose y>0 i.e y′>0 car le problème est symétrique par rapport
à Fx.
On a donc :
y′=tan(a) (c’est la pente de la tangente t)
tan(2*a)=y/x=2tan(a)/1−tan(a)22y′/1−y′2
donc
yy′2+2y′x−y=0 |
ou puisque l’on a supposé y′>0
y′= |
|
ou
yy′=−x+ | √ |
|
On obtient une équation différentielle à résoudre.
Résolution de yy′=−x+√x2+y2 par changement de variable
On a :
yy′+x=√x2+y2
Le premier membre est la dérivée de (y2+x2)/2, on pose donc :
z=(y2+x2)/2 et l’équation différentielle devient :
z′=√2z ou z′/√2z=1donc
√2z=x+p où p=Cste
donc x2+y2=(x+p)2
On trouve l’équation de la parabole de foyer l’origine F et de directrice
d d’équation x=−p.
Résolution de yy′=−x+√x2+y2 géométriquement
On a :
KM=MFi=√x2+y2i
donc OK=OM+MK a pour coordonnées :
xK=x−√x2+y2 et yK=y
Montrons que lorsque M se déplase sur le courbe, xK reste constant.
xK est une fonction de x dérivable de dérivee :
x′K=1−x+y*y′/√x2+y2=√x2+y2−x−y*y′/√x2+y2
On remplace yy′ par sa valeur et on obtient :
x′K=√x2+y2−x−(−x+√x2+y2)/√x2+y2=0
Donc xK=−p et M est sur une parabole de foyer F et de directrice d
d’équation x=−p.