resultant a comme arguments deux polynômes.
resultant renvoie le résultant des deux polynômes.
Le résultant est le dernier reste non nul de l’algorithme d’Euclide et c’est
aussi le déterminant de la matrice S de Sylvester.
Pour les deux polynômes A(x)=∑i=0i=n aixi et
B(x)=∑i=0i=mbixi, la matrice S de Sylvester est une matrice
carrée de dimensiom m+n dont les m premières lignes sont composées à
partir des coefficients de A(x) :
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ |
| ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ |
et les n lignes suivantes sont composées de la même façon à partir des coefficients de B(x) :
⎛ ⎜ ⎜ ⎝ |
| ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ |
On tape :
^
3-p*x+q,3*x^
2-p,x)On obtient :
^
3--27*q^
2
Remarque
On a : discriminant(P)=resultant(P,P’).
Un exemple d’utilisation du résultant
Soient 2 points fixes F1 et F2 et un point variable A sur le cercle de
centre F1 et de rayon 2a.
On veut trouver l’équation cartésienne du lieu des points M intersection de
F1A et de la médiatrice de F2A : on a MF1+MF2=MF1+MA=F1A=2a donc M
décrit une ellipse de foyers F1 et F2 et de grand axe 2a.
Choisisons comme repère orthonormé celui de centre F1 et d’axe Ox
porté par le vecteur F1F2. On a :
A= (2acos(θ);2asin(θ)) où θ est l’angle (Ox,OA).
On choisit comme paramètre t=tan(θ/2) pour que les coordonnées de
A soient une fonction rationnelle du paramètre t. On a donc :
A=(ax;ay)=(2a1−t2/1+t2;2a2t/1+t2)
On pose F1F2=2c et on note I le milieu de AF2. On a :
F2=(2c,0) et
I=(c+ax/2;ay/2)=(c+a1−t2/1+t2;a2t1−t2/1+t2)
IM est perpendiculaire à AF2 donc M=(x;y) vérifie l’équation
eq1=0 avec :
eq1:=(x−ix)*(ax−2*c)+(y−iy)*ay
M=(x;y) est sur F1A donc M vérifie l’équation eq2=0 avec :
eq2:=y/x−ay/ax
On a :
resultant(eq1,eq2,t) est un polynôme eq3 en x et y, eq3 est
indépendant de t et il existe des polynômes en t, U et V tels que :
U(t)*eq1+V(t)*eq2=eq3.
On tape :
ax:=2*a*(1-t^
2)/(1+t^
2);ay:=2*a*2*t/(1+t^
2);
ix:=(ax+2*c)/2; iy:=(ay/2)
eq1:=(x-ix)*(ax-2*c)+(y-iy)*ay
eq2:=y/x-ay/ax
factor(resultant(eq1,eq2,t))
On obtient comme résultant :
-(64·(x^
2+y^
2)·(x^
2·a^
2-x^
2·c^
2+-2·x·a^
2·c+2·x·c^
3-a^
4+
2·a^
2·c^
2+a^
2· y^
2-c^
4))
Le facteur -64·(x^
2+y^
2) ne s’annule jamais donc
l’équation du lieu est :
x2a2−x2c2+−2xa2c+2xc3−a4+2a2c2+a2y2−c4=0 |
En prenant l’origine du repère en O milieu de F1F2, on retrouve
l’équation cartésienne de l’ellipse. Pour faire ce changement d’origine,
on a F1M=F1O+OM, donc on
tape :
normal(subst(x^
2·a^
2-x^
2·c^
2+-2· x·a^
2·c+2·x·c^
3-a^
4+
2·a^
2·c^
2+a^
2·y^
2-c^
4,[x,y]=[c+X,Y]))
On obtient :
-c^
2*X^
2+c^
2*a^
2+X^
2*a^
2-a^
4+a^
2*Y^
2
ou encore si on pose b2=a2−c2
normal(subst(-c^
2*X^
2+c^
2*a^
2+X^
2*a^
2-a^
4+a^
2*Y^
2,c^
2=a^
2-b^
2))
On obtient :
-a^
2*b^
2+a^
2*Y^
2+b^
2*X^
2
c’est à dire après division par a2b2, M vérifie l’équation :
| + |
| =1 |
Un autre exemple d’utilisation du résultant
Soient 2 points fixes F1 et F2 et un point variable A sur le cercle de
centre F1 et de rayon 2a.
On veut trouver l’équation cartésienne de l’enveloppe de la médiatrice D
de F2A (on sait que la médiatrice de F2A est tangente à l’ellipse de
foyers F1 et F2 et de grand axe 2a).
Choisisons comme repère orthonormé celui de centre F1 et d’axe Ox
porté par le vecteur F1F2. On a :
A= (2acos(θ);2asin(θ)) où θ est l’angle (Ox,OA).
On choisit comme paramètre t=tan(θ/2) pour que les coordonnées de
A soient une fonction rationnelle du paramètre t. On a donc :
A=(ax;ay)=(2a1−t2/1+t2;2a2t/1+t2)
On pose F1F2=2c et on note I le milieu de AF2. On a :
F2=(2c,0) et
I=(c+ax/2;ay/2)=(c+a1−t2/1+t2;a2t1−t2/1+t2)
D est perpendiculaire à AF2 donc D a pour équation :
eq1=0 avec :
eq1:=(x−ix)*(ax−2*c)+(y−iy)*ay
L’enveloppe de D est donc le lieu de M intersection de D et de D′
d’équation eq2=0 avec eq2:=diff(eq1,t).
On tape :
ax:=2*a*(1-t^
2)/(1+t^
2);ay:=2*a*2*t/(1+t^
2);
ix:=(ax+2*c)/2; iy:=(ay/2)
eq1:=normal((x-ix)*(ax-2*c)+(y-iy)*ay)
eq2:=normal(diff(eq1,t))
factor(resultant(eq1,eq2,t))
On obtient comme résultant :
(-(64· a^
2))·(x^
2+y^
2)·(x^
2·a^
2-x^
2·c^
2+-2·x·a^
2·c+2·x·c^
3-
a^
4+2·a^
2·c^
2+a^
2·y^
2-c^
4)
Le facteur -64·(x^
2+y^
2) ne s’annule jamais donc l’équation du
lieu est :
x2a2−x2c2+−2xa2c+2xc3−a4+2a2c2+a2y2−c4=0
En prenant l’origine du repère en O milieu de F1F2, on retrouve comme
précédemment l’équation cartésienne de l’ellipse :
| + |
| =1 |