On donne ici les équations en polaire de différentes courbes.
r= 1/acos(θ)+bsin(θ)
r=acos(θ)+bsin(θ)
r=p/1+ecos(θ)
r=1/a+bcos(θ)+csin(θ)
On appelle conchoïde d’une courbe (C) par rapport à un point O le
lieu (Γ) des points M et N que l’on obtient en portant sur la
droite OP : PM=−PN=a lorsque P décrit la courbe
C et que a a une valeur constante.
Si l’équation polaire de C est r=f(θ), celle de (Γ) est :
r=f(θ)± a.
Remarque
Si f(θ−π)=−f(θ) alors le double signe est inutile. En effet
un point K de coordonnées polaires r,θ est aussi
et le point K1 de coordonnées polaires −r,θ+π.
Si on considère :
le point M de coordonnées polaires :
f(θ)+a,θ et
θ1=θ+π
On a :
f(θ)+a=f(θ1−π)+a=−f(θ1)+a=−(f(θ1)−a)
le point M de coordonnées polaires f(θ)+a,θ
est donc identique au point de coordonnées polaires :
−(f(θ1)−a,θ) qui est le point N de coordonnées
polaires f(θ1)−a,θ1.
Soient une droite d, un point O non situé sur d et un nombre réel
a.
La conchoïde de Nicomède est le
lieu (Γ) des points M et N que l’on obtient en portant sur la
droite OP : PM=−PN=a lorsque P décrit la droite
d et que a a une valeur constante.
Soit h la distance de O à la droite d.
La conchoïde de Nicomède a comme équation :
r=h/cos(θ)+a |
Le double signe est inutile car cos(θ−π)=−cos(θ).
Avec Xcas
On tape :
O:=point(0,0); d:=droite(x=3); a:=element(1..5); plotpolar(3/cos(t)+a,t,affichage=rouge)
On a choisit h=3. On peut ainsi faire varier a et voir les 3 cas :
h<a, h=a, h>a.
On peut trouver l’équation cartésienne :
r=rh/x+a donc
r−rh/x=r(x−h)/x=a donc
(x2+y2)(x−h)2−a2x2=0 |
c’est donc une quartique.
On peut faire une animation et voir la construction de la courbe quand
P se déplace sur la droite d.
On ouvre un écran de géométrie 2D et on tape (on a choisit h=3 et a
entre 1 et 5) pour faire une animation (ne
pas oublier de mettre animate à 0.5 à l’aide du bouton cfg :
O:=point(0,0); d:=droite(x=3):;d; supposons(a=[4.3,-5.0,5.0,0.0]); plotpolar(3/cos(t)+a,t,affichage=rouge); T(a,u,x):=(3/(-a*sin(u)*cos(u)^2)-cos(u)/sin(u))*x+ (a+3/cos(u))^2/(a*sin(u)); animation(seq('droite(y=tan(u)*x)',u,-10,10,0.1)); animation(seq('P:=point(3+i*tan(u)*3)',u,-10,10,0.1)); animation(seq('M:=point((3/cos(u)+a)*exp(i*u))',u,-10,10,0.1)); animation(seq('droite(y=T(a,u,x),affichage=vert)',u,-10,10,0.1));
On obtient :
La conchoïde de Nicomède (en rouge) :
On suppose maintenant que des rayons parallèles à l’axe des y se
réfléchissent
sur la deuxième nappe (lorsque −π/2<θ<π/2).
Pour avoir la trace des rayons réfléchis, on tape :
O:=point(0,0); d:=droite(x=3):;d; supposons(a=[4.3,-5.0,5.0,0.0]); plotpolar(3/cos(t)+a,t,affichage=rouge); T(a,u,x):=(3/(-a*sin(u)*cos(u)^2)-cos(u)/sin(u))*x+ (a+3/cos(u))^2/(a*sin(u)); N:=unapply(equal2list(equation(perpendiculaire( M,droite(y=T(a,u,x)))))[1],[a,u,x]); //N(a,u,x):=(a*sin(u)*cos(u)^2)/(3+a*cos(u)^3)*x+ //(9*tan(u)+3*a*sin(u))/(3+a*cos(u)^3); supposons(u:=[1.2,(-pi)/2,pi/2,0.05]); M:=point((3/cos(u)+a)*exp(i*u)); dd:=symetrie(droite(y=N(a,u,x)), demi_droite(M,point(i*(3/cos(u)+a)*sin(u)))):; trace(dd);
On obtient quand on fait bouger le curseur u pour avoir la trace
des rayons réfléchis :
Les rayons réfléchis sur une conchoïde de Nicomède
On construit ainsi le limaçon de Pascal.
Soit un cercle C de rayon R, un point O situé sur C et un nombre
réel a. Le limaçon de Pascal est le
lieu (Γ) des points M et N que l’on obtient en portant sur la
droite OP : PM=−PN=a lorsque P décrit le cercle
C et que a a une valeur constante.
Une conchoïde de cercle a comme équation :
r=2Rcos(θ)+a |
Le double signe est inutile car cos(θ−π)=−cos(θ).
Avec Xcas
On tape :
O:=point(0,0); C:=cercle(3,3); a:=element(1..5); plotpolar(6*cos(t)+a,t,affichage=rouge);
On a choisit R=3. On peut ainsi faire varier a et voir les 3 cas :
2R<a, 2R=a, 2R>a.
Lorsque 2R=a on a r=2R(cos(θ)+1)=a(cos(θ)+1) c’est donc une
cardioïde.
On peut faire une animation et voir et les points M, N et la
construction de la courbe quand P se déplace sur le cercle C.
On tape :
O:=point(0,0); C:=cercle(3,3); a:=element(1..5); plotpolar(6*cos(t)+a,t,affichage=rouge); animation(seq('droite(y=tan(u)*x)',u=-10..10)); animation(seq('P:=point(6*cos(u)*exp(i*u))',u,-10,10)); animation(seq('M:=point((6*cos(u)+a)*exp(i*u))',u,-10,10)); animation(seq('N:=point((6*cos(u)-a)*exp(i*u))',u,-10,10));
Soient une droite d, un point O non situé sur d et H la projection
orthogonale de O sur d.
Soit h=OH la distance de O à la droite d et C le cercle de diamètre
OH.
Soit P un point de d et N l’intersection de OP avec C.
Lorsque P décrit la droite d, le lieu de M, obtenu en portant sur OP,
OM=NP est une cissoïde droite.
Si O est l’origine, OH l’axe des x et t l’angle de OP avec Ox,
on a :
P=point(h/cos(t)*exp(i*t)), N=point(h*cos(t)*exp(i*t)),
OM=NP=h*exp(i*t)*(1/cos(t)−cos(t))=h*exp(i*t)*(1−cos(t)2)/cos(t)=x+i*y=r*exp(i*t)
Donc :
x=h*sin(t)2 et y=h*tan(t)*sin(t)2 et
r=h*sin(t)2/cos(t)
donc l’équation polaire de la cissoïde droite est :
r=h*sin(t)2/cos(t).
Avec Xcas
On tape :
O:=point(0,0); h:=element(0..6); d:=droite(x=h); cercle(0,point(h)); plotpolar(h*sin(t)^2/cos(t),t,affichage=rouge);
Cette courbe ressemble à un morceau de conchoïde de droite lorsque a<h.
Soient une droite d, un point O non situé sur d et H la projection
orthogonale de O sur d.
Soit h=OH la distance de O à la droite d .
Soit P un point de d.
Lorsque P décrit la droite d, le point M de la droite OP tel que
PM=overlineHP est
une strophoïde droite.
Si O est l’origine, OH l’axe des x, et t l’angle de OP avec Ox,
on a:
P=point(h/cos(t)*exp(i*t))=point(h*(1+i*tan(t)))
|OP|=h/cos(t)
H=point(h)
PH=h*tan(t)
On a :
OM=OP+overlineHP
donc :
OM=OP+OP*cos(t)*tan(t))=OP*(1+sin(t))
Donc on a :
OM=h*(1+sin(t))/cos(t)*exp(i*t))=r*exp(i*t)
donc l’équation polaire de la strophoïde droite est :
r=h*(1+sin(t))/cos(t).
Cette courbe ressemble à un morceau de conchoïde de droite lorsque a>h.
Remarque
Si on prend l’origine en H on a comme équation polaire:
r=−h*cos(2*t))/cos(t).
Avec Xcas
On peut faire une animation et voir la construction de la courbe quand
P se déplace sur la droite d.
On tape :
O:=point(0,0); h:=element(1..5); d:=droite(x=h); plotpolar(h*(1+sin(t))/cos(t),t,affichage=rouge); animation(seq('droite(y=tan(u)*x)',u,-10,10,0.5)); animation(seq('P:=point(h+i*tan(u)*h)',u,-10,10,0.5)); animation(seq('M:=point(h*(1+sin(u))/cos(u))*exp(i*u)',u,-10,10,0.5));
Étant donnés deux points F1 et F2 et un nombre réel k, le lieu
de M de coordonnées (x;y) tel que MF1*MF2=k2 est une ovale de
Cassini.
Si O est le milieu de F1F2 et OF1=c, on a :
MF12=(x+c)2+y2 et MF22=(x−c)2+y2 donc
MF12*MF22=((x+c)2+y2)*((x−c)2+y2)=
c4−2*c2*x2+2*c2*y2+(x2+y2)2
Alors le lieu de M a pour équation :
(x2+y2)2−2*c2*(x2−y2)=k4−c4
ou encore
(x2+y2+c2)2=4*c2*x2+k4
Une lemniscate de Bernoulli est une ovale de Cassini avec :
k=OF1=c.
Posons a=c*√2.
Donc c’est le lieu de M tel que : MF1*MF2=OF12 et on a :
(x2+y2)2=a2*(x2−y2)
si
x=r*cos(t) et y=r*sin(t) on a :
r4=a2*r2*(cos(t)2−sin(t)2)=a2*r2*cos(2*t)
donc
r2=a2*cos(2*t)
L’équation polaire d’une lemniscate de Bernouilli est :
r=± a*√cos(2*t)
Avec Xcas
On tape :
O:=point(0,0); a:=element(1..5); F1:=point(-a*sqrt(2)/2,0); F2:=point(a*sqrt(2)/2,0); plotpolar(a*sqrt(cos(2*t)),t=0..2*pi);
L’équation cartésienne du limaçon de Pascal est :
(x2+y2−a*x)2=b2*(x2+y2)
L’équation polaire du limaçon de Pascal est :
r=a*cos(t)+b
Avec Xcas
On tape :
a:=element(1..5); b:=element(0..5); plotpolar(a*cos(t)+b,t=-10..10);
Soit la cardioïde de paramètre a ayant sont point de rebroussement en O
et passant par le point A=2a.
Son équation cartésienne est :
(x2+y2)2−2*a*x*(x2+y2)−a2*y2
Son équation paramétrique est :
x=a*(1+cos(t))*cos(t)=(2*cos(t)+cos(2t)+1)*a/2,
y=a*(1+cos(t))*sin(t)=(2*sin(t)+sin(2t)+1)*a/2.
Son équation polaire est :
r=a*(1+cos(t)).
Une cardioïde est le lieu d’un point M situé sur un cercle de rayon
a/2 qui roule sans glisser sur un
cercle fixe de même rayon et de centre a/2.
On tape :
assume(t=[1.570796325,0,2*pi]); cercle(0,1); cercle(2*exp(i*t),1); A:=point(2*exp(i*t)-exp(2*i*t)); plotparam(affixe(A),t) //lieu(A,t);
On obtient une cardioïde de paramètre a=2 ayant sont point de rebroussement
en 1 et passant par le point A=−3.
On peut se reporter à la section 11.2.1 pour voir les animations sur
les épicycloïdes.
La cardioïde a pour équation polaire r=a(cos(t)+1).
On peut calculer la longueur d’une cardioïde.
On a :
ds2=dr2+r2dt2
On tape :
normal(diff(a*(cos(t)+1),t)^
2+(a*(cos(t)+1))^
2)
On obtient :
a^
2*cos(t)^
2+2*a^
2*cos(t)+a^
2*sin(t)^
2+a^
2
On tape :
trigcos(halftan(trigcos(a^
2*cos(t)^
2+2*a^
2*cos(t)+a^
2*sin(t)^
2+a^
2)))
On obtient :
4*a^
2*cos(t/2)^
2
On tape :
2*int(2*a*cos(t/2),t,0,pi)
On obtient :
2*4*a
La longueur de la cardioïde d’équation r=a(cos(θ)+1) est donc
8*a.
t:=element(0 .. 7,0); cercle(t+i,1); A:=point(t+i-i*exp(-(i)*t)); lieu(A,t);
t:=element(0 .. 7,0); cercle(0,2); cercle(3*exp(i*t),1); A:=point(3*exp(i*t)-exp(3*i*t)) lieu(A,t);
t:=element(0 .. 7,0); cercle(0,3); cercle(2exp(i*t),1); A:=point(2*exp(i*t)+exp(-2*i*t)); lieu(A,t);
t:=element(0 .. 7,0); cercle(0,2); cercle(3/2*exp(i*t),1/2); A:=point(3/2*exp(i*t)+1/2*exp(-3*i*t)); lieu(A,t);
Ce sont les courbes qui ont comme équation polaire r=a*sin(m*t) et
l’origine est le centre de la rosace.
Lorsque m est rationnel ces courbes se referment et lorsque m est
irrationnel ces courbes sont formées de boucles qui se déduisent l’une de l’autre par des rotations de centre O et d’angle π/m
Cette rosace a pour équation :
r=a*sin(2*t)
En coordonnées cartésienne son équation est :
(x2+y2)3=4a2x2y2
Cette rosace a pour équation :
r=a*sin(5/2*t)
On trace la rosace qui a pour équation :
r=a*sin(sqrt(2)*t)
Avec Xcas
On tape :
a:=element(1..5); m:=element(1..5); plotpolar(a*sin(m*t),t=-10..10);
Ce sont les courbes en forme de fleurs qui ont comme équation polaire
r=a*cos(m*t)+b et
l’origine est le centre de la fleur.
Lorsque m est rationnel ces courbes se referment et lorsque m est
irrationnel ces courbes sont formées de boucles qui se déduisent l’une de l’autre par des rotations de centre O et d’angle π/m
Le trèfle simple a pour équation :
r=cos(3*t)
Le trèfle général a pour équation :
r=cos(3*t)+b
Essayez r=cos(3*t)+1/3
Les fleurs à 14 pétales ont par exemple pour équation :
r=cos(14*t), r=cos(7/2*t) ou r=cos(7/4*t)
Et plus généralement, les fleurs d’équation :
r=cos(7/p*t)+b
On essayera :
m=7,b=3
m=3/2,b=1/4
m=5/2,b=3
m=7/2,b=0
m=1/3,b=1/9
m=5/4,b=1/3
m=7/4,b=0
m=9/4,b=7/3
etc...
Avec Xcas
On tape :
a:=element(1..5); b:=element(0..5); m:=element(1..5); plotpolar(a*sin(m*t),t=-10..10);
L’équation polaire de la spirale d’Archimède est :
r=a*θ
L’équation polaire de la spirale hyperbolique est :
r=a/θ
C’est l’inverse de la spirale d’Archimède.
L’équation polaire de la spirale parabolique est :
r=a ± √(2*a*p*θ))
L’équation polaire de la spirale logarithmique est :
r=a*exp(m*θ)
L’équation polaire de la spirale de Galilée est :
r=a*(1−m*θ2)
L’équation polaire de la spirale de Fermat est :
r=± a*sqrt(θ)
L’équation polaire de la spirale de Poinsot est :
r=a/cosh(m*θ)
L’équation polaire du lituus est :
r=a/sqrt(θ)
Si M est un point de cette courbe, et si m est le point de l’axe des x
tel que Om=OM, alors l’aire du secteur circulaire OmM est constante.
L’équation polaire de la courbe du spiral est :
r=a/(1+m*exp(k*θ))
Les courbes de Lissajous ont comme équation paramétrique :
x(t)=acos( t)
y(t)=bsin( t+φ)
Avec Xcas
On tape :
k:=element(0 .. 4); m:=element(0 .. 4); p:=element(0..pi/2); plotparam(3*cos(k*t)+i*2*sin(m*t+p),t);
On peut voir les différentes courbes en faisant varier m et p.
En particulier k=1 et m=1 puis on fait varier p,
k=2 et m=3 puis on fait varier p etc...