On a :
2*s1=∑k=1nk)+∑k=1nn+1−k)=∑k=1nn+1)=n(n+1)
Donc :
s0(n)= |
|
On peut aussi remarquer que :
p(p+1)−(p−1)p=2p
Donc que :
2s1=∑p=1n2p=∑p=1n(p(p+1)−(p−1)p)=n(n+1)
Avec Xcas, on tape :
sum(k,k=1..n)
On obtient :
(n*(n+1))/2
Remarque
On peut en déduire le calcul de s=∑k=1n(2k−1)).
On a en effet :
s=2∑k=1nk−n=n*(n+1)−n=n2
On aurait aussi pu remarquer que :
2p−1=p2−(p−1)2
Donc que :
s=∑p=1n2p−1=∑p=1n(p2−(p−1)2)=n2
Avec Xcas, on tape :
normal(sum(2k-1,k=1..n))
On obtient :
n^
2
On a :
13=1
23=13+3*12+3*1+1
....
k3=(k−1)3+3*(k−1)2+3*(k−1)+1
(k+1)2=k3+3*k2+3*k+1
....
n3=(n−1)3+3*(n−1)2+3*(n−1)+1
(n+1)3=n3+3*n2+3*n+1
En sommant tous les termes :
(n+1)3=3*∑k=1nk2+3∑k=1nk+n=3s2+3n(n+1)/2+n+1
Donc :
3s2(n)=(n+1)((n+1)2−3n/2−n−1)=(n+1)(2n2+n)/2
s2(n)= |
|
On peut aussi remarquer que :
p(p+1)(2p+1)−(p−1)p(2p−1)=6p2
Donc que :
6s2=∑p=1n6p2=∑p=1n(p(p+1)(2p+1)−(p−1)p(2p−1))=n(n+1)(2*n+1)
Avec Xcas, on tape :
factor(sum(k^
2,k=1..n))
On obtient :
n*(n+1)*(2*n+1)/6
On a :
14=1
24=14+4*13+6*12+4+1
....
k4=(k−1)4+4*(k−1)3+6*(k−1)2+4*(k−1)+1
(k+1)4=k4+4*k3+6*k2+4*k+1
....
(n+1)4=n4+4*n3+6n2+4*n+1
Donc :
(n+1)4=n4+4s3(n)+6s2(n)+4s1(n)+n
Donc :
4s3(n)= (n+1)4−n*(n+1)*(2*n+1)−2n(n+1)−n−1=(n+1)((n+1)3−n(2*n+1)−2n−1)
4s3(n)=(n+1)2((n+1)2−(2*n+1))=(n+1)2n2
s3(n)= |
|
On peut aussi remarquer que :
p2(p+1)2−(p−1)2p2=4p3
Donc que :
4s3=∑p=1n4p2=∑p=1n(p2(p+1)2−(p−1)2p2)=n2(n+1)2
Avec Xcas, on tape :
factor(sum(k^
3,k=1..n))
On obtient :
(n^
2*(n+1)^
2)/4
On sait que :
(a+b)n=∑k=0ncomb(n,k)akbn−k
donc
s0(n)=∑k=0ncomb(n,k)=(1+1)n=2n
Donc :
s0(n)=2n |
Avec Xcas, on tape :
sum(comb(n,k),k=0..n)
On obtient :
2^
n
On sait que :
comb(n,k)=n!/k!(n−k)!
Donc :
k*comb(n,k)=n*comb(n−1,k−1)
On a :
s1(n)=∑k=0nk*comb(n,k)=∑k=1nk*comb(n,k)=
n*∑k=1ncomb(n−1,k−1)=n*∑k=0n−1comb(n−1,k)=n*2n−1
Donc :
s1(n)=n*2n−1 |
Avec Xcas, on tape :
sum(k*comb(n,k),k=0..n)
On obtient :
n*2^
(n-1)
On sait que :
comb(n,k)=n!/k!(n−k)! et
∑k=0nk*comb(n,k)=n*2n−1
Donc :
k2*comb(n,k)=n*k*comb(n−1,k−1)
On a :
s2(n)=∑k=0nk2*comb(n,k)=∑k=1nk2*comb(n,k)=
n*∑k=1nk*comb(n−1,k−1)=n*∑k=0n−1(k+1)*comb(n−1,k)=
n*∑k=0n−1k*comb(n−1,k)+n*∑k=0n−1comb(n−1,k)=
n*(n−1)*2n−2+n*2n−1=n(n+1)2n−2=n(s(n−1)+s0(n−1))
Donc :
s2(n)=n(n+1)2n−2 |
Avec Xcas, on tape :
s2:=sum(k^
2*comb(n,k),k=0..n)
factor(subst(s2,2^
(n-1),2*2^
(n-2)))
On obtient :
n*(n+1)*2^
(n-2)
On sait que :
comb(n,k)=n!/k!(n−k)! et
∑k=0nk2*comb(n,k)=n(n+1)2n−2
Donc :
s3(n)=k3*comb(n,k)=n*k2*comb(n−1,k−1)
On a :
∑k=0nk3*comb(n,k)=∑k=1nk3*comb(n,k)=
n*∑k=1nk2*comb(n−1,k−1)=n*∑k=0n−1(k+1)2*comb(n−1,k)=
n(s2(n−1)+2*s1(n−1)+s0(n−1))=
n(n(n−1)*2n−3+2(n−1)2n−2+2n−1)=n(n(n−1)+4(n−1)+4)2n−3=n2(n+3)2n−3
Donc :
s3(n)=n2(n+3)2n−3 |
Avec Xcas, on tape :
s3:=sum(k^
3*comb(n,k),k=0..n)
factor(subst(subst(s3,2^
(n-2),2^
(n-3)*2),2^
(n-1),2^
(n-3)*4))
On obtient :
n^
2*(n+3)*2^
(n-3)
On remarque que :
1/k(k+1)=1/k−1/k+1
Donc que :
s=∑k=1n1/k(k+1)=∑k=1n1/k−1/k+1=1−1/n+1=n/n+1
Avec Xcas, on tape :
normal(sum(1/(k*(k+1)),k=1..n))
On obtient :
n/(n+1)
On remarque que :
2/(2k−1)(2k+1)=1/2k−1−1/2k+1
Donc que :
2s=∑k=1n1/(2k−1)(2k+1)=∑k=1n1/2k−1−1/2k+1=1−1/2n+1=2n/2n+1
Donc :
s= |
|
Avec Xcas, on tape :
normal(sum(1/((2k-1)*(2k+1)),k=1..n))
On obtient :
n/(2n+1)
On remarque que :
2/(k)(k+2)=1/k−1/k+2
Donc que :
2s=∑k=1n1/k(k+2)=∑k=1n1/k−1/k+2=∑p=1n1/p−∑p=3n+21/p=1+1/2−1/n+1−1/n+2=3*n2+5*n/2*n2+6*n+4
Donc :
s= |
|
Avec Xcas, on tape :
normal(sum(1/(k*(k+2)),k=1..n))
On obtient :
(3*n^
2+5*n)/(4*n^
2+12*n+8)
On tape :
partfrac(1/(k*(k+1)*(k+2)),k)
On obtient :
1/(k*2)-1/(k+1)+1/((k+2)*2)
Donc :
2*s=∑k=1n1/k−1/(k+1)−(1/(k+1)−1/(k+2))=
∑p=1n1/p−1/(p+1)−∑k=2n+11/p−1/(p+1)=
2s=1−1/2−1/n+1+1/(n+2)=(n2+3*n)/(2*n2+6*n+4)
Donc :
s= |
|
Avec Xcas, on tape :
normal(sum(1/(k*(k+2)),k=1..n))
On obtient :
(n^
2+3*n)/(4*n^
2+12*n+8)