series peut avoir de un à quatre paramètres :
l’expression à développer, x=a (par défaut x=0),
l’ordre du développement (par défaut 5), la direction -1, 1
(pour un développement unidirectionel) ou 0 (pour un
développement bidirectionel) (par défaut 0).
Remarque on peut aussi mettre x,a,n au lieu de
x=a,n
series renvoie un polynôme en x-a, plus un reste que Xcas
écrit :
(x-a)^
n*order_size(x-a)
cela signifie que l’on a un developpement limité à l’ordre n−1
(ou à l’ordre p<n).
En effet order_size désigne une fonction telle que,
quelque soit r positif :
x^
r*order_size(x) tend vers zéro quand x tend vers zéro.
Par exemple, les fonctions constantes, la fonction log (ou ln), sont
des fonctions order_size.
Attention!!!
L’ordre que l’algorithme utilise pour les développements limités peut
être plus petit que celui demandé : l’ordre peut diminuer si il y des
compensations (voir les exemples qui suivent)
^
3+sin(x)^
3/(x-sin(x)))^2
+x^
3*order_size(x)^
3+sin(x)^
3/(x-sin(x)),x=0,7)^
2+x^
3+711/1400*x^
4+x^
5*order_size(x)^
2,x=pi/6, 4)^
2+ 32*sqrt(3)/3/4*(x-pi/6)^
3+(-16*3+16)/3/4*(x-pi/6)^
4+ (x-pi/6)^
5*order_size(x-pi/6)^
3+1/-5*(1/x)^
5+^
6*order_size(1/x)Exemple 2 :
Donner un développement de (2x−1)e1/x−1 à l’ordre 2 au voisinage de
x=+∞ en prenant comme infiniment petit h=1/x.
On tape :
On obtient seulement l’ordre 1 :
^
2*order_size(1/x)On tape pour avoir le développement à l’ordre 2 en 1/x:
On obtient :
^
2+(1/x)^
3*order_size(1/x)
Exemple 3 :
Donner un développement de (2x−1)e1/x−1) à l’ordre 2 au voisinage de
x=-∞ en prenant comme infiniment petit h=−1/x.
On tape :
On obtient :
^
2+^
3*order_size(-1/x)^
(1/x)/x^
3,x=0,2,1)^
3+(-(exp(1)))/2/x^
2+1/x*order_size(x)