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Spezielle Funktionen haben die folgenden Notationen:
bessel_j (index, expr) Bessel function, 1st kind bessel_y (index, expr) Bessel function, 2nd kind bessel_i (index, expr) Modified Bessel function, 1st kind bessel_k (index, expr) Modified Bessel function, 2nd kind hankel_1 (v,z) Hankel function of the 1st kind hankel_2 (v,z) Hankel function of the 2nd kind struve_h (v,z) Struve H function struve_l (v,z) Struve L function assoc_legendre_p[v,u] (z) Legendre function of degree v and order u assoc_legendre_q[v,u] (z) Legendre function, 2nd kind %f[p,q] ([], [], expr) Generalized Hypergeometric function gamma() Gamma function gammagreek(a,z) Incomplete gamma function gammaincomplete(a,z) Tail of incomplete gamma function hypergeometric(l1, l2, z) Hypergeometric function slommel %m[u,k] (z) Whittaker function, 1st kind %w[u,k] (z) Whittaker function, 2nd kind erfc (z) Complement of the erf function expintegral_e (v,z) Exponential integral E expintegral_e1 (z) Exponential integral E1 expintegral_ei (z) Exponential integral Ei expintegral_li (z) Logarithmic integral Li expintegral_si (z) Exponential integral Si expintegral_ci (z) Exponential integral Ci expintegral_shi (z) Exponential integral Shi expintegral_chi (z) Exponential integral Chi kelliptic (z) Complete elliptic integral of the first kind (K) parabolic_cylinder_d (v,z) Parabolic cylinder D function
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22.2.1 Besselfunktionen | ||
22.2.2 Hankelfunktion | ||
22.2.3 Airyfunktionen | ||
22.2.4 Struvefunktionen |
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Die Besselfunktion der ersten Art der Ordnung v und dem Argument
z. bessel_j
ist definiert als
inf ==== k - v - 2 k v + 2 k \ (- 1) 2 z > -------------------------- / k! gamma(v + k + 1) ==== k = 0
Die Reihenentwicklung wird nicht für die numerische Berechnung genutzt.
Die Besselfunktion bessel_j
ist für das numerische und symbolische
Rechnen geeignet.
Maxima berechnet bessel_j
numerisch für reelle und komplexe
Gleitkommazahlen als Argumente für v und z. Mit der Funktion
float
oder der Optionsvariablen numer
kann die numerische
Auswertung erzwungen werden, wenn die Argumente Zahlen sind. Die numerische
Berechnung für große Gleitkommazahlen ist nicht implementiert. In diesem
Fall gibt Maxima eine Substantivform zurück.
Die Besselfunktion hat die folgenden Eigenschaften, die mit
properties
angezeigt werden und auf das symbolische Rechnen Einfluss
haben:
conjugate function
bessel_j
hat Spiegelsymmetrie, wenn das Argument z keine negative
reelle Zahl ist.
complex characteristic
Maxima kennt den Realteil und den Imaginärteil von bessel_j
für
spezielle Argumente v und z.
limit function
Maxima kennt spezielle Grenzwerte der Funktion bessel_j
.
integral
Maxima kennt das Integral der Funktion bessel_j
in Bezug auf das
Argument z.
gradef
Maxima kennt die Ableitungen der Funktion bessel_j
in Bezug auf die
Argumente v und z.
Die Vereinfachung der Besselfunktion bessel_j
wird von den folgenden
Optionsvariablen kontrolliert:
distribute_over
Hat die Optionsvariable distribute_over
den Wert true
und ist das
Argument der Besselfunktion eine Matrix, Liste oder Gleichung wird die Funktion
auf die Elemente oder beiden Seiten der Gleichung angewendet. Der Standardwert
ist true
.
besselexpand
Hat die Optionsvariable besselexpand
den Wert true
, werden
Besselfunktion mit einer halbzahligen Ordnung v als Sinus- und
Kosinusfunktionen entwickelt.
bessel_reduce
Hat die Optionsvariable bessel_reduce
den Wert true
, werden
Besselfunktionen mit einer ganzzahligen Ordnung n nach Besselfunktionen
mit der niedrigsten Ordnung 0 und 1 entwickelt.
Zusätzlich kennt Maxima die geraden und ungeraden Symmetrieeigenschaften der Besselfunktionen für eine ganzzahlige Ordnung v.
Beispiele:
Numerisches Rechnen mit der Besselfunktion. Für große Gleitkommazahlen ist die numerische Berechnung nicht implementiert.
(%i1) bessel_j(1,[0.5, 0.5+%i]); (%o1) [.2422684576748739, .5124137767280905 %i + .3392601907198862] (%i2) bessel_j(1,[0.5b0, 0.5b0+%i]); (%o2) [bessel_j(1, 5.0b-1), bessel_j(1, %i + 5.0b-1)]
Vereinfachungen der Besselfunktion mit den Optionsvariablen besselexpand
und bessel_reduce
.
(%i3) bessel_j(1/2,x), besselexpand:true; sqrt(2) sin(x) (%o3) ----------------- sqrt(%pi) sqrt(x) (%i4) bessel_j(3,x), bessel_reduce:true; 2 bessel_j(1, x) 4 (---------------- - bessel_j(0, x)) x (%o4) ------------------------------------- - bessel_j(1, x) x
Ableitungen und Integrale der Besselfunktion.
(%i5) diff(bessel_j(2,x), x); bessel_j(1, x) - bessel_j(3, x) (%o5) ------------------------------- 2 (%i6) diff(bessel_j(v,x), x); bessel_j(v - 1, x) - bessel_j(v + 1, x) (%o6) --------------------------------------- 2 (%i7) integrate(bessel_j(v,x), x); (%o7) 2 v 1 v 3 x - v - 1 v + 1 hypergeometric([- + -], [- + -, v + 1], - --) 2 x 2 2 2 2 4 ------------------------------------------------------------- v 1 (- + -) gamma(v + 1) 2 2 (%i8) laplace(bessel_j(2,t), t, s); 1 2 (1 - sqrt(-- + 1)) s 2 s (%o8) --------------------- 1 sqrt(-- + 1) 2 s
Besselfunktionen als Lösung einer linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung.
(%i1) depends(y, x); (%o1) [y(x)] (%i2) declare(n, integer); (%o2) done (%i3) 'diff(y, x, 2)*x^2 + 'diff(y, x)*x + y*(x^2-n^2) = 0; 2 2 2 d y 2 dy (%o3) y (x - n ) + --- x + -- x = 0 2 dx dx (%i4) ode2(%, y, x); (%o4) y = %k2 bessel_y(n, x) + %k1 bessel_j(n, x)
Die Besselfunktion der zweiten Art der Ordnung v und dem Argument
z. bessel_y
ist definiert als
cos(%pi v) bessel_j(v, z) - bessel_j(-v, z) ------------------------------------------- sin(%pi v)
für den Fall, dass v keine ganze Zahl ist. Ist v eine ganze
Zahl n, dann wird die Besselfunktion bessel_y
als der Grenzwert
definiert, wenn v gegen die ganze Zahl n geht.
Die Besselfunktion bessel_y
ist für das numerische und symbolische
Rechnen geeignet.
Maxima berechnet bessel_y
numerisch für reelle und komplexe
Gleitkommazahlen als Argumente für v und z. Mit der Funktion
float
oder der Optionsvariablen numer
kann die numerische
Auswertung erzwungen werden, wenn die Argumente Zahlen sind. Die numerische
Berechnung für große Gleitkommazahlen ist nicht implementiert. In diesem
Fall gibt Maxima eine Substantivform zurück.
Die modifizierte Besselfunktion der ersten Art der Ordnung v und dem
Argument v. bessel_i
ist definiert als
inf ==== - v - 2 k v + 2 k \ 2 z > ------------------- / k! gamma(v + k + 1) ==== k = 0
Die Reihenentwicklung wird nicht für die numerische Berechnung genutzt.
Die Besselfunktion bessel_i
ist für das numerische und symbolische
Rechnen geeignet.
Maxima berechnet bessel_i
numerisch für reelle und komplexe
Gleitkommazahlen als Argumente für v und z. Mit der Funktion
float
oder der Optionsvariablen numer
kann die numerische
Auswertung erzwungen werden, wenn die Argumente Zahlen sind. Die numerische
Berechnung für große Gleitkommazahlen ist nicht implementiert. In diesem
Fall gibt Maxima eine Substantivform zurück.
Die modifizierte Besselfunktion der zweiten Art der Ordnung v und dem
Argument z. bessel_k
ist definiert als
%pi csc(%pi v) (bessel_i(-v, z) - bessel_i(v, z)) ------------------------------------------------- 2
für den Fall, dass v keine ganze Zahl ist. Ist v eine ganze
Zahl n, dann wird die Besselfunktion bessel_k
als der Grenzwert
definiert, wenn v gegen die ganze Zahl n geht.
Die Besselfunktion bessel_k
ist für das numerische und symbolische
Rechnen geeignet.
Maxima berechnet bessel_k
numerisch für reelle und komplexe
Gleitkommazahlen als Argumente für v und z. Mit der Funktion
float
oder der Optionsvariablen numer
kann die numerische
Auswertung erzwungen werden, wenn die Argumente Zahlen sind. Die numerische
Berechnung für große Gleitkommazahlen ist nicht implementiert. In diesem
Fall gibt Maxima eine Substantivform zurück.
Standardwert: false
Hat die Optionsvariable bessel_reduce
den Wert true
, werden
Besselfunktionen mit einer ganzzahligen Ordnung n nach Besselfunktionen
mit der niedrigsten Ordnung 0 und 1 entwickelt.
Standardwert: false
Hat die Optionsvariable besselexpand
den Wert true
, werden
Besselfunktion mit einer halbzahligen Ordnung v als Sinus- und
Kosinusfunktionen entwickelt. Die Optionsvariable besselexpand
kontrolliert auch die Entwicklung der Hankelfunktionen hankel_1
und
hankel_2
sowie der Struvefunktionen struve_h
und
struve_l
.
Beispiele:
(%i1) besselexpand: false$ (%i2) bessel_j (3/2, z); 3 (%o2) bessel_j(-, z) 2 (%i3) besselexpand: true$ (%i4) bessel_j (3/2, z); sin(z) cos(z) sqrt(2) sqrt(z) (------ - ------) 2 z z (%o4) --------------------------------- sqrt(%pi)
Die skalierte modifizierte Besselfunktion der ersten Art der Ordnung
v und dem Argument z. Diese ist definiert als
scaled_bessel_i(v,z) = exp(-abs(z))*bessel_i(v, z)
.
scaled_bessel_i
liefert ein numerisches Ergebnis, wenn die Argumente
v und z Zahlen sind. Die Funktion kann geeignet sein, wenn
bessel_i
für große Argumente z numerisch berechnet werden soll.
Ganze, rationale oder große Gleitkommazahlen werden in Gleitkommazahlen mit
doppelter Genauigkeit umgewandelt. Sind die Argumente keine Zahlen, wird ein
vereinfachter Ausdruck mit der Funktion bessel_i
zurückgegeben.
scaled_bessel_i
ist eine Verbfunktion, die nicht für das symbolische
Rechnen geeignet ist. Für das symbolische Rechnen kann die Funktion
bessel_i
verwendet werden.
Beispiele:
(%i1) scaled_bessel_i(1, 50); (%o1) .05599312389289544 (%i2) scaled_bessel_i(1/2, 50); (%o2) .05641895835477567 (%i3) scaled_bessel_i(v, x); - abs(x) (%o3) bessel_i(v, x) %e
Identical to scaled_bessel_i(0,z)
.
Entspricht scaled_bessel_i(0,z)
. Siehe scaled_bessel_i
.
Entspricht scaled_bessel_i(1,z)
. Siehe scaled_bessel_i
.
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Die Hankelfunktion der ersten Art der Ordnung v und dem Argument
z. Siehe A & S 9.1.3. hankel_1
ist definiert als
bessel_j(v,z) + %i * bessel_y(v,z)
Die Hankelfunktion hankel_1
ist für das numerische und symbolische
Rechnen geeignet.
Maxima berechnet hankel_1
numerisch für reelle und komplexe
Gleitkommazahlen als Argumente für v und z. Mit der Funktion
float
oder der Optionsvariablen numer
kann die numerische
Auswertung erzwungen werden, wenn die Argumente Zahlen sind. Die numerische
Berechnung für große Gleitkommazahlen ist nicht implementiert. In diesem
Fall gibt Maxima eine Substantivform zurück.
When besselexpand
is true
, hankel_1
is expanded in terms
of elementary functions when the order v is half of an odd integer.
See besselexpand
.
Maxima knows the derivative of hankel_1
wrt the argument z.
Examples:
Numerical evaluation:
(%i1) hankel_1(1,0.5); (%o1) .2422684576748738 - 1.471472392670243 %i (%i2) hankel_1(1,0.5+%i); (%o2) - .2558287994862166 %i - 0.239575601883016
A complex order v is not supported. Maxima returns a noun form:
(%i3) hankel_1(%i,0.5+%i); (%o3) hankel_1(%i, %i + 0.5)
Expansion of hankel_1
when besselexpand
is true
:
(%i4) hankel_1(1/2,z),besselexpand:true; sqrt(2) sin(z) - sqrt(2) %i cos(z) (%o4) ---------------------------------- sqrt(%pi) sqrt(z)
Derivative of hankel_1
wrt the argument z. The derivative wrt the
order v is not supported. Maxima returns a noun form:
(%i5) diff(hankel_1(v,z),z); hankel_1(v - 1, z) - hankel_1(v + 1, z) (%o5) --------------------------------------- 2 (%i6) diff(hankel_1(v,z),v); d (%o6) -- (hankel_1(v, z)) dv
Die Hankelfunktion der ersten Art der Ordnung v und dem Argument
z. Siehe A & S 9.1.4. hankel_2
ist definiert als
bessel_j(v,z) - %i * bessel_y(v,z)
Die Hankelfunktion hankel_2
ist für das numerische und symbolische
Rechnen geeignet.
Maxima berechnet hankel_2
numerisch für reelle und komplexe
Gleitkommazahlen als Argumente für v und z. Mit der Funktion
float
oder der Optionsvariablen numer
kann die numerische
Auswertung erzwungen werden, wenn die Argumente Zahlen sind. Die numerische
Berechnung für große Gleitkommazahlen ist nicht implementiert. In diesem
Fall gibt Maxima eine Substantivform zurück.
When besselexpand
is true
, hankel_2
is expanded in terms
of elementary functions when the order v is half of an odd integer.
See besselexpand
.
Maxima knows the derivative of hankel_2
wrt the argument z.
For examples see hankel_1
.
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The Airy functions Ai(x) and Bi(x) are defined in Abramowitz and Stegun, Handbook of Mathematical Functions, Section 10.4.
y = Ai(x)
and y = Bi(x)
are two linearly independent solutions
of the Airy differential equation diff (y(x), x, 2) - x y(x) = 0
.
If the argument x
is a real or complex floating point
number, the numerical value of the function is returned.
The Airy function Ai(x). (A&S 10.4.2)
The derivative diff (airy_ai(x), x)
is airy_dai(x)
.
See also airy_bi
, airy_dai
, airy_dbi
.
The derivative of the Airy function Ai airy_ai(x)
.
See airy_ai
.
The Airy function Bi(x). (A&S 10.4.3)
The derivative diff (airy_bi(x), x)
is airy_dbi(x)
.
See airy_ai
, airy_dbi
.
The derivative of the Airy Bi function airy_bi(x)
.
See airy_ai
and airy_bi
.
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Die Struvefunktion H der Ordnung v und dem Argument z. Siehe Abramowitz und Stegun, Handbook of Mathematical Functions, Kapitel 12. Die Definition ist
inf ==== k 2 k z v + 1 \ (- 1) z (-) > ---------------------------------- 2 / 2 k 3 3 ==== 2 gamma(k + -) gamma(v + k + -) k = 0 2 2
Die Struvefunktion struve_h
ist für das numerische und symbolische
Rechnen geeignet. Im Unterschied zu den Besselfunktionen
ist jedoch die
Implementation der Funktion struve_h
weniger vollständig.
Maxima berechnet struve_h
numerisch für reelle und komplexe
Gleitkommazahlen als Argumente für v und z. Mit der Funktion
float
oder der Optionsvariablen numer
kann die numerische
Auswertung erzwungen werden, wenn die Argumente Zahlen sind. Die numerische
Berechnung für große Gleitkommazahlen ist nicht implementiert. In diesem
Fall gibt Maxima eine Substantivform zurück.
Hat die Optionsvariable besselexpand
den Wert true
, wird die
Struvefunktion struve_h
mit einer halbzahligen Ordnung v als
Sinus- und Kosinusfunktionen entwickelt.
Maxima kennt die Ableitung der Struvefunktion struve_h
nach dem Argument
z.
Siehe auch die Struvefunktion struve_l
.
Beispiele:
(%i1) struve_h(1, 0.5); (%o1) .05217374424234107 (%i2) struve_h(1, 0.5+%i); (%o2) 0.233696520211436 %i - .1522134290663428 (%i3) struve_h(3/2,x), besselexpand: true; 2 2 x sin(x) + 2 cos(x) - x - 2 (%o3) - ------------------------------ 3/2 sqrt(2) sqrt(%pi) x (%i4) diff(struve_h(v, x), x); v x (%o4) (------------------------- - struve_h(v + 1, x) v 3 sqrt(%pi) 2 gamma(v + -) 2 + struve_h(v - 1, x))/2
Die modifizierte Struvefunktion L der Ordnung v und dem Argument z. Siehe Abramowitz und Stegun, Handbook of Mathematical Functions, Kapitel 12. Die Definition ist
inf ==== 2 k z v + 1 \ z (-) > ---------------------------------- 2 / 2 k 3 3 ==== 2 gamma(k + -) gamma(v + k + -) k = 0 2 2
Die Struvefunktion struve_l
ist für das numerische und symbolische
Rechnen geeignet. Im Unterschied zu den Besselfunktionen
ist jedoch die
Implementation der Funktion struve_l
weniger vollständig.
Maxima berechnet struve_l
numerisch für reelle und komplexe
Gleitkommazahlen als Argumente für v und z. Mit der Funktion
float
oder der Optionsvariablen numer
kann die numerische
Auswertung erzwungen werden, wenn die Argumente Zahlen sind. Die numerische
Berechnung für große Gleitkommazahlen ist nicht implementiert. In diesem
Fall gibt Maxima eine Substantivform zurück.
Hat die Optionsvariable besselexpand
den Wert true
, wird die
Struvefunktion struve_l
mit einer halbzahligen Ordnung v als
Sinus- und Kosinusfunktionen entwickelt.
Maxima kennt die Ableitung der Struvefunktion struve_l
nach dem Argument
z.
Siehe auch die Struvefunktion struve_h
.
Beispiele:
(%i1) struve_l(1, 0.5); (%o1) .05394218262352267 (%i2) struve_l(1, 0.5+%i); (%o2) .1912720461247995 %i - .1646185598117401 (%i3) struve_l(3/2,x), besselexpand: true; 2 2 x sinh(x) - 2 cosh(x) - x + 2 (%o3) -------------------------------- 3/2 sqrt(2) sqrt(%pi) x (%i4) diff(struve_l(v, x), x); v x (%o4) (------------------------- + struve_l(v + 1, x) v 3 sqrt(%pi) 2 gamma(v + -) 2 + struve_l(v - 1, x))/2
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The gamma function and the related beta, psi and incomplete gamma functions are defined in Abramowitz and Stegun, Handbook of Mathematical Functions, Chapter 6.
Bigfloat version of the factorial (shifted gamma) function. The second argument is how many digits to retain and return, it's a good idea to request a couple of extra.
bfpsi
is the polygamma function of real argument z and integer
order n. bfpsi0
is the digamma function.
bfpsi0 (z, fpprec)
is equivalent to bfpsi (0, z,
fpprec)
.
These functions return bigfloat values. fpprec is the bigfloat precision of the return value.
Complex bigfloat factorial.
load ("bffac")
loads this function.
The basic definition of the gamma function (A&S 6.1.1) is
inf / [ z - 1 - t gamma(z) = I t %e dt ] / 0
Maxima simplifies gamma
for positive integer and positive and negative
rational numbers. For half integral values the result is a rational number times
sqrt(%pi)
. The simplification for integer values is controlled by
factlim
. For integers greater than factlim
the numerical result of
the factorial function, which is used to calculate gamma
, will overflow.
The simplification for rational numbers is controlled by gammalim
to
avoid internal overflow. See factlim
and gammalim
.
For negative integers gamma
is not definied.
Maxima can evalute gamma
numerically for real and complex values in float
and bigfloat precision.
gamma
has mirror symmetry.
When gamma_expand
is true
, Maxima expands gamma
for
arguments z+n
and z-n
where n
is an integer.
Maxima knows the derivate of gamma
.
Examples:
Simplification for integer, half integral, and rational numbers:
(%i1) map('gamma,[1,2,3,4,5,6,7,8,9]); (%o1) [1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320] (%i2) map('gamma,[1/2,3/2,5/2,7/2]); sqrt(%pi) 3 sqrt(%pi) 15 sqrt(%pi) (%o2) [sqrt(%pi), ---------, -----------, ------------] 2 4 8 (%i3) map('gamma,[2/3,5/3,7/3]); 2 1 2 gamma(-) 4 gamma(-) 2 3 3 (%o3) [gamma(-), ----------, ----------] 3 3 9
Numerical evaluation for real and complex values:
(%i4) map('gamma,[2.5,2.5b0]); (%o4) [1.329340388179137, 1.3293403881791370205b0] (%i5) map('gamma,[1.0+%i,1.0b0+%i]); (%o5) [0.498015668118356 - .1549498283018107 %i, 4.9801566811835604272b-1 - 1.5494982830181068513b-1 %i]
gamma
has mirror symmetry:
(%i6) declare(z,complex)$ (%i7) conjugate(gamma(z)); (%o7) gamma(conjugate(z))
Maxima expands gamma(z+n)
and gamma(z-n)
, when gamma_expand
is true
:
(%i8) gamma_expand:true$ (%i9) [gamma(z+1),gamma(z-1),gamma(z+2)/gamma(z+1)]; gamma(z) (%o9) [z gamma(z), --------, z + 1] z - 1
The deriviative of gamma
:
(%i10) diff(gamma(z),z); (%o10) psi (z) gamma(z) 0
See also makegamma
.
The Euler-Mascheroni constant is %gamma
.
The natural logarithm of the gamma function.
The incomplete upper gamma function A&S 6.5.2:
inf / [ a - 1 - t I t %e dt ] / z
The regularized incomplete upper gamma function A&S 6.5.1.
gamma_incomplete(a, z) ---------------------- gamma(a)
The generalized incomplete gamma function defined as
z2 / [ a - 1 - t I t %e dt ] / z1
Default value: 1000000
gammalim
controls simplification of the gamma
function for integral and rational number arguments. If the absolute
value of the argument is not greater than gammalim
, then
simplification will occur. Note that the factlim
switch controls
simplification of the result of gamma
of an integer argument as well.
Transforms instances of binomial, factorial, and beta functions in expr into gamma functions.
See also makefact
.
The beta function is defined as gamma(a) gamma(b)/gamma(a+b)
(A&S 6.2.1).
Maxima simplifies the beta function for positive integers and rational
numbers, which sum to an integer. When beta_args_sum_to_integer
is
true
, Maxima simplifies also general expressions which sum to an integer.
For a or b equal to zero the beta function is not defined.
In general the beta function is not defined for negative integers as an argument. The exception is for a=-n, n a positive integer and b a positive integer with b<=n, it is possible to define an analytic continuation. Maxima gives for this case a result.
When beta_expand
is true
, expressions like beta(a+n,b)
and
beta(a-n,b)
or beta(a,b+n)
and beta(a,b-n)
with n
an integer are simplified.
Maxima can evaluate the beta function for real and complex values in float and
bigfloat precision. For numerical evaluation Maxima uses log_gamma
:
- log_gamma(b + a) + log_gamma(b) + log_gamma(a) %e
Maxima knows that the beta function is symmetric and has mirror symmetry.
Maxima knows the derivatives of the beta function with respect to a or b.
To express the beta function as a ratio of gamma functions see makegamma
.
Examples:
Simplification, when one of the arguments is an integer:
(%i1) [beta(2,3),beta(2,1/3),beta(2,a)]; 1 9 1 (%o1) [--, -, ---------] 12 4 a (a + 1)
Simplification for two rational numbers as arguments which sum to an integer:
(%i2) [beta(1/2,5/2),beta(1/3,2/3),beta(1/4,3/4)]; 3 %pi 2 %pi (%o2) [-----, -------, sqrt(2) %pi] 8 sqrt(3)
When setting beta_args_sum_to_integer
to true
more general
expression are simplified, when the sum of the arguments is an integer:
(%i3) beta_args_sum_to_integer:true$ (%i4) beta(a+1,-a+2); %pi (a - 1) a (%o4) ------------------ 2 sin(%pi (2 - a))
The possible results, when one of the arguments is a negative integer:
(%i5) [beta(-3,1),beta(-3,2),beta(-3,3)]; 1 1 1 (%o5) [- -, -, - -] 3 6 3
beta(a+n,b)
or beta(a-n)
with n
an integer simplifies when
beta_expand
is true
:
(%i6) beta_expand:true$ (%i7) [beta(a+1,b),beta(a-1,b),beta(a+1,b)/beta(a,b+1)]; a beta(a, b) beta(a, b) (b + a - 1) a (%o7) [------------, ----------------------, -] b + a a - 1 b
Beta is not definied, when one of the arguments is zero:
(%i7) beta(0,b); beta: expected nonzero arguments; found 0, b -- an error. To debug this try debugmode(true);
Numercial evaluation for real and complex arguments in float or bigfloat precision:
(%i8) beta(2.5,2.3); (%o8) .08694748611299981 (%i9) beta(2.5,1.4+%i); (%o9) 0.0640144950796695 - .1502078053286415 %i (%i10) beta(2.5b0,2.3b0); (%o10) 8.694748611299969b-2 (%i11) beta(2.5b0,1.4b0+%i); (%o11) 6.401449507966944b-2 - 1.502078053286415b-1 %i
Beta is symmetric and has mirror symmetry:
(%i14) beta(a,b)-beta(b,a); (%o14) 0 (%i15) declare(a,complex,b,complex)$ (%i16) conjugate(beta(a,b)); (%o16) beta(conjugate(a), conjugate(b))
The derivative of the beta function wrt a
:
(%i17) diff(beta(a,b),a); (%o17) - beta(a, b) (psi (b + a) - psi (a)) 0 0
The basic definition of the incomplete beta function (A&S 6.6.1) is
z / [ b - 1 a - 1 I (1 - t) t dt ] / 0
This definition is possible for realpart(a)>0 and realpart(b)>0 and abs(z)<1. For other values the incomplete beta function can be defined through a generalized hypergeometric function:
gamma(a) hypergeometric_generalized([a, 1 - b], [a + 1], z) z
(See functions.wolfram.com for a complete definition of the incomplete beta function.)
For negative integers a = -n and positive integers b=m with m<=n the incomplete beta function is defined through
m - 1 k ==== (1 - m) z n - 1 \ k z > ----------- / k! (n - k) ==== k = 0
Maxima uses this definition to simplify beta_incomplete
for a a
negative integer.
For a a positive integer, beta_incomplete
simplifies for any
argument b and z and for b a positive integer for any
argument a and z, with the exception of a a negative integer.
For z=0 and realpart(a)>0, beta_incomplete
has the
specific value zero. For z=1 and realpart(b)>0,
beta_incomplete
simplifies to the beta function beta(a,b)
.
Maxima evaluates beta_incomplete
numerically for real and complex values
in float or bigfloat precision. For the numerical evaluation an expansion of the
incomplete beta function in continued fractions is used.
When beta_expand
is true
, Maxima expands expressions like
beta_incomplete (a+n, b, z)
and beta_incomplete (a-n, b, z)
where
n is a positive integer.
Maxima knows the derivatives of beta_incomplete
with respect to the
variables a, b and z and the integral with respect to the
variable z.
Examples:
Simplification for a a positive integer:
(%i1) beta_incomplete(2,b,z); b 1 - (1 - z) (b z + 1) (%o1) ---------------------- b (b + 1)
Simplification for b a positive integer:
(%i2) beta_incomplete(a,2,z); a (a (1 - z) + 1) z (%o2) ------------------ a (a + 1)
Simplification for a and b a positive integer:
(%i3) beta_incomplete(3,2,z); 3 (3 (1 - z) + 1) z (%o3) ------------------ 12
a is a negative integer and b<=(-a), Maxima simplifies:
(%i4) beta_incomplete(-3,1,z); 1 (%o4) - ---- 3 3 z
For the specific values z=0 and z=1, Maxima simplifies:
(%i5) assume(a>0,b>0)$ (%i6) beta_incomplete(a,b,0); (%o6) 0 (%i7) beta_incomplete(a,b,1); (%o7) beta(a, b)
Numerical evaluation in float or bigfloat precision:
(%i8) beta_incomplete(0.25,0.50,0.9); (%o8) 4.594959440269333 (%i9) fpprec:25$ (%i10) beta_incomplete(0.25,0.50,0.9b0); (%o10) 4.594959440269324086971203b0
For abs(z)>1 beta_incomplete
returns a complex result:
(%i11) beta_incomplete(0.25,0.50,1.7); (%o11) 5.244115108584249 - 1.45518047787844 %i
Results for more general complex arguments:
(%i14) beta_incomplete(0.25+%i,1.0+%i,1.7+%i); (%o14) 2.726960675662536 - .3831175704269199 %i (%i15) beta_incomplete(1/2,5/4*%i,2.8+%i); (%o15) 13.04649635168716 %i - 5.802067956270001 (%i16)
Expansion, when beta_expand
is true
:
(%i23) beta_incomplete(a+1,b,z),beta_expand:true; b a a beta_incomplete(a, b, z) (1 - z) z (%o23) -------------------------- - ----------- b + a b + a (%i24) beta_incomplete(a-1,b,z),beta_expand:true; b a - 1 beta_incomplete(a, b, z) (- b - a + 1) (1 - z) z (%o24) -------------------------------------- - --------------- 1 - a 1 - a
Derivative and integral for beta_incomplete
:
(%i34) diff(beta_incomplete(a, b, z), z); b - 1 a - 1 (%o34) (1 - z) z (%i35) integrate(beta_incomplete(a, b, z), z); b a (1 - z) z (%o35) ----------- + beta_incomplete(a, b, z) z b + a a beta_incomplete(a, b, z) - -------------------------- b + a (%i36) factor(diff(%, z)); (%o36) beta_incomplete(a, b, z)
The regularized incomplete beta function A&S 6.6.2, defined as
beta_incomplete(a, b, z) ------------------------ beta(a, b)
As for beta_incomplete
this definition is not complete. See
functions.wolfram.com for a complete definition of
beta_incomplete_regularized
.
beta_incomplete_regularized
simplifies a or b a positive
integer.
For z=0 and realpart(a)>0, beta_incomplete_regularized
has
the specific value 0. For z=1 and realpart(b)>0,
beta_incomplete_regularized
simplifies to 1.
Maxima can evaluate beta_incomplete_regularized
for real and complex
arguments in float and bigfloat precision.
When beta_expand
is true
, Maxima expands
beta_incomplete_regularized
for arguments a+n or a-n,
where n is an integer.
Maxima knows the derivatives of beta_incomplete_regularized
with respect
to the variables a, b, and z and the integral with respect to
the variable z.
Examples:
Simplification for a or b a positive integer:
(%i1) beta_incomplete_regularized(2,b,z); b (%o1) 1 - (1 - z) (b z + 1) (%i2) beta_incomplete_regularized(a,2,z); a (%o2) (a (1 - z) + 1) z (%i3) beta_incomplete_regularized(3,2,z); 3 (%o3) (3 (1 - z) + 1) z
For the specific values z=0 and z=1, Maxima simplifies:
(%i4) assume(a>0,b>0)$ (%i5) beta_incomplete_regularized(a,b,0); (%o5) 0 (%i6) beta_incomplete_regularized(a,b,1); (%o6) 1
Numerical evaluation for real and complex arguments in float and bigfloat precision:
(%i7) beta_incomplete_regularized(0.12,0.43,0.9); (%o7) .9114011367359802 (%i8) fpprec:32$ (%i9) beta_incomplete_regularized(0.12,0.43,0.9b0); (%o9) 9.1140113673598075519946998779975b-1 (%i10) beta_incomplete_regularized(1+%i,3/3,1.5*%i); (%o10) .2865367499935405 %i - .1229959633346841 (%i11) fpprec:20$ (%i12) beta_incomplete_regularized(1+%i,3/3,1.5b0*%i); (%o12) 2.8653674999354036142b-1 %i - 1.2299596333468400163b-1
Expansion, when beta_expand
is true
:
(%i13) beta_incomplete_regularized(a+1,b,z); b a (1 - z) z (%o13) beta_incomplete_regularized(a, b, z) - ------------ a beta(a, b) (%i14) beta_incomplete_regularized(a-1,b,z); (%o14) beta_incomplete_regularized(a, b, z) b a - 1 (1 - z) z - ---------------------- beta(a, b) (b + a - 1)
The derivative and the integral wrt z:
(%i15) diff(beta_incomplete_regularized(a,b,z),z); b - 1 a - 1 (1 - z) z (%o15) ------------------- beta(a, b) (%i16) integrate(beta_incomplete_regularized(a,b,z),z); (%o16) beta_incomplete_regularized(a, b, z) z b a (1 - z) z a (beta_incomplete_regularized(a, b, z) - ------------) a beta(a, b) - ------------------------------------------------------- b + a
The basic definition of the generalized incomplete beta function is
z2 / [ b - 1 a - 1 I (1 - t) t dt ] / z1
Maxima simplifies beta_incomplete_regularized
for a and b
a positive integer.
For realpart(a)>0 and z1=0 or z2=0, Maxima simplifies
beta_incomplete_generalized
to beta_incomplete
. For
realpart(b)>0 and z1=1 or z2=1, Maxima simplifies to an
expression with beta
and beta_incomplete
.
Maxima evaluates beta_incomplete_regularized
for real and complex values
in float and bigfloat precision.
When beta_expand
is true
, Maxima expands
beta_incomplete_generalized
for a+n and a-n, n a
positive integer.
Maxima knows the derivative of beta_incomplete_generalized
with respect
to the variables a, b, z1, and z2 and the integrals with
respect to the variables z1 and z2.
Examples:
Maxima simplifies beta_incomplete_generalized
for a and b a
positive integer:
(%i1) beta_incomplete_generalized(2,b,z1,z2); b b (1 - z1) (b z1 + 1) - (1 - z2) (b z2 + 1) (%o1) ------------------------------------------- b (b + 1) (%i2) beta_incomplete_generalized(a,2,z1,z2); a a (a (1 - z2) + 1) z2 - (a (1 - z1) + 1) z1 (%o2) ------------------------------------------- a (a + 1) (%i3) beta_incomplete_generalized(3,2,z1,z2); 2 2 2 2 (1 - z1) (3 z1 + 2 z1 + 1) - (1 - z2) (3 z2 + 2 z2 + 1) (%o3) ----------------------------------------------------------- 12
Simplification for specific values z1=0, z2=0, z1=1, or z2=1:
(%i4) assume(a > 0, b > 0)$ (%i5) beta_incomplete_generalized(a,b,z1,0); (%o5) - beta_incomplete(a, b, z1) (%i6) beta_incomplete_generalized(a,b,0,z2); (%o6) - beta_incomplete(a, b, z2) (%i7) beta_incomplete_generalized(a,b,z1,1); (%o7) beta(a, b) - beta_incomplete(a, b, z1) (%i8) beta_incomplete_generalized(a,b,1,z2); (%o8) beta_incomplete(a, b, z2) - beta(a, b)
Numerical evaluation for real arguments in float or bigfloat precision:
(%i9) beta_incomplete_generalized(1/2,3/2,0.25,0.31); (%o9) .09638178086368676 (%i10) fpprec:32$ (%i10) beta_incomplete_generalized(1/2,3/2,0.25,0.31b0); (%o10) 9.6381780863686935309170054689964b-2
Numerical evaluation for complex arguments in float or bigfloat precision:
(%i11) beta_incomplete_generalized(1/2+%i,3/2+%i,0.25,0.31); (%o11) - .09625463003205376 %i - .003323847735353769 (%i12) fpprec:20$ (%i13) beta_incomplete_generalized(1/2+%i,3/2+%i,0.25,0.31b0); (%o13) - 9.6254630032054178691b-2 %i - 3.3238477353543591914b-3
Expansion for a+n or a-n, n a positive integer, when
beta_expand
is true
:
(%i14) beta_expand:true$ (%i15) beta_incomplete_generalized(a+1,b,z1,z2); b a b a (1 - z1) z1 - (1 - z2) z2 (%o15) ----------------------------- b + a a beta_incomplete_generalized(a, b, z1, z2) + ------------------------------------------- b + a (%i16) beta_incomplete_generalized(a-1,b,z1,z2); beta_incomplete_generalized(a, b, z1, z2) (- b - a + 1) (%o16) ------------------------------------------------------- 1 - a b a - 1 b a - 1 (1 - z2) z2 - (1 - z1) z1 - ------------------------------------- 1 - a
Derivative wrt the variable z1 and integrals wrt z1 and z2:
(%i17) diff(beta_incomplete_generalized(a,b,z1,z2),z1); b - 1 a - 1 (%o17) - (1 - z1) z1 (%i18) integrate(beta_incomplete_generalized(a,b,z1,z2),z1); (%o18) beta_incomplete_generalized(a, b, z1, z2) z1 + beta_incomplete(a + 1, b, z1) (%i19) integrate(beta_incomplete_generalized(a,b,z1,z2),z2); (%o19) beta_incomplete_generalized(a, b, z1, z2) z2 - beta_incomplete(a + 1, b, z2)
Default value: false
When beta_expand
is true
, beta(a,b)
and related
functions are expanded for arguments like a+n or a-n,
where n is an integer.
Default value: false
When beta_args_sum_to_integer
is true
, Maxima simplifies
beta(a,b)
, when the arguments a and b sum to an integer.
The derivative of log (gamma (x))
of order n+1
.
Thus, psi[0](x)
is the first derivative,
psi[1](x)
is the second derivative, etc.
Maxima does not know how, in general, to compute a numerical value of
psi
, but it can compute some exact values for rational args.
Several variables control what range of rational args psi
will
return an exact value, if possible. See maxpsiposint
,
maxpsinegint
, maxpsifracnum
, and maxpsifracdenom
.
That is, x must lie between maxpsinegint
and
maxpsiposint
. If the absolute value of the fractional part of
x is rational and has a numerator less than maxpsifracnum
and has a denominator less than maxpsifracdenom
, psi
will return an exact value.
The function bfpsi
in the bffac
package can compute
numerical values.
Default value: 20
maxpsiposint
is the largest positive value for which
psi[n](x)
will try to compute an exact value.
Default value: -10
maxpsinegint
is the most negative value for which
psi[n](x)
will try to compute an exact value. That is if
x is less than maxnegint
, psi[n](x)
will not
return simplified answer, even if it could.
Default value: 6
Let x be a rational number less than one of the form p/q
.
If p
is greater than maxpsifracnum
, then
psi[n](x)
will not try to return a simplified
value.
Default value: 6
Let x be a rational number less than one of the form p/q
.
If q
is greater than maxpsifracdenom
, then
psi[n](x)
will not try to return a simplified
value.
Transforms instances of binomial, gamma, and beta functions in expr into factorials.
See also makegamma
.
Returns the numerical factor multiplying the expression expr, which should be a single term.
content
returns the greatest common divisor (gcd) of all terms in a sum.
(%i1) gamma (7/2); 15 sqrt(%pi) (%o1) ------------ 8 (%i2) numfactor (%); 15 (%o2) -- 8
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The Exponential Integral and related funtions are defined in Abramowitz and Stegun, Handbook of Mathematical Functions, Chapter 5
The Exponential Integral E1(z) (A&S 5.1.1)
The Exponential Integral Ei(z) (A&S 5.1.2)
The Exponential Integral Li(z) (A&S 5.1.3)
The Exponential Integral En(z) (A&S 5.1.4)
The Exponential Integral Si(z) (A&S 5.2.1)
The Exponential Integral Ci(z) (A&S 5.2.2)
The Exponential Integral Shi(z) (A&S 5.2.3)
The Exponential Integral Chi(z) (A&S 5.2.4)
Default value: false
Change the representation of the Exponential Integral to gamma_incomplete, expintegral_e1, expintegral_ei, expintegral_li, expintegral_trig, expintegral_hyp
Default value: false
Expand the Exponential Integral E[n](z) for half integral values in terms of Erfc or Erf and for positive integers in terms of Ei
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The Error function and related funtions are defined in Abramowitz and Stegun, Handbook of Mathematical Functions, Chapter 7
The Error Function erf(z) (A&S 7.1.1)
See also flag erfflag
.
The Complementary Error Function erfc(z) (A&S 7.1.2)
erfc(z) = 1-erf(z)
The Imaginary Error Function.
erfi(z) = -%i*erf(%i*z)
Generalized Error function Erf(z1,z2)
The Fresnel Integral C(z) = integrate(cos((%pi/2)*t^2),t,0,z). (A&S 7.3.1)
The simplification fresnel_c(-x) = -fresnel_c(x) is applied when
flag trigsign
is true.
The simplification fresnel_c(%i*x) = %i*fresnel_c(x) is applied when
flag %iargs
is true.
See flags erf_representation
and hypergeometric_representation
.
The Fresnel Integral S(z) = integrate(sin((%pi/2)*t^2),t,0,z). (A&S 7.3.2)
The simplification fresnel_s(-x) = -fresnel_s(x) is applied when
flag trigsign
is true.
The simplification fresnel_s(%i*x) = %i*fresnel_s(x) is applied when
flag %iargs
is true.
See flags erf_representation
and hypergeometric_representation
.
Default value: false
When T erfc, erfi, erf_generalized, fresnel_s and fresnel_c are transformed to erf.
Default value: false
Enables transformation to a Hypergeometric representation for fresnel_s and fresnel_c
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22.6.1 Einführung in Elliptische Funktionen und Integrale | ||
22.6.2 Funktionen und Variablen für Elliptische Funktionen | ||
22.6.3 Funktionen und Variablen für Elliptische Integrale |
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Maxima includes support for Jacobian elliptic functions and for complete and incomplete elliptic integrals. This includes symbolic manipulation of these functions and numerical evaluation as well. Definitions of these functions and many of their properties can by found in Abramowitz and Stegun, Chapter 16-17. As much as possible, we use the definitions and relationships given there.
In particular, all elliptic functions and integrals use the parameter m instead of the modulus k or the modular angle \alpha. This is one area where we differ from Abramowitz and Stegun who use the modular angle for the elliptic functions. The following relationships are true:
The elliptic functions and integrals are primarily intended to support symbolic computation. Therefore, most of derivatives of the functions and integrals are known. However, if floating-point values are given, a floating-point result is returned.
Support for most of the other properties of elliptic functions and integrals other than derivatives has not yet been written.
Some examples of elliptic functions:
(%i1) jacobi_sn (u, m); (%o1) jacobi_sn(u, m) (%i2) jacobi_sn (u, 1); (%o2) tanh(u) (%i3) jacobi_sn (u, 0); (%o3) sin(u) (%i4) diff (jacobi_sn (u, m), u); (%o4) jacobi_cn(u, m) jacobi_dn(u, m) (%i5) diff (jacobi_sn (u, m), m); (%o5) jacobi_cn(u, m) jacobi_dn(u, m) elliptic_e(asin(jacobi_sn(u, m)), m) (u - ------------------------------------)/(2 m) 1 - m 2 jacobi_cn (u, m) jacobi_sn(u, m) + -------------------------------- 2 (1 - m)
Some examples of elliptic integrals:
(%i1) elliptic_f (phi, m); (%o1) elliptic_f(phi, m) (%i2) elliptic_f (phi, 0); (%o2) phi (%i3) elliptic_f (phi, 1); phi %pi (%o3) log(tan(--- + ---)) 2 4 (%i4) elliptic_e (phi, 1); (%o4) sin(phi) (%i5) elliptic_e (phi, 0); (%o5) phi (%i6) elliptic_kc (1/2); 1 (%o6) elliptic_kc(-) 2 (%i7) makegamma (%); 2 1 gamma (-) 4 (%o7) ----------- 4 sqrt(%pi) (%i8) diff (elliptic_f (phi, m), phi); 1 (%o8) --------------------- 2 sqrt(1 - m sin (phi)) (%i9) diff (elliptic_f (phi, m), m); elliptic_e(phi, m) - (1 - m) elliptic_f(phi, m) (%o9) (----------------------------------------------- m cos(phi) sin(phi) - ---------------------)/(2 (1 - m)) 2 sqrt(1 - m sin (phi))
Support for elliptic functions and integrals was written by Raymond Toy. It is placed under the terms of the General Public License (GPL) that governs the distribution of Maxima.
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The Jacobian elliptic function sn(u,m).
The Jacobian elliptic function cn(u,m).
The Jacobian elliptic function dn(u,m).
The Jacobian elliptic function ns(u,m) = 1/sn(u,m).
The Jacobian elliptic function sc(u,m) = sn(u,m)/cn(u,m).
The Jacobian elliptic function sd(u,m) = sn(u,m)/dn(u,m).
The Jacobian elliptic function nc(u,m) = 1/cn(u,m).
The Jacobian elliptic function cs(u,m) = cn(u,m)/sn(u,m).
The Jacobian elliptic function cd(u,m) = cn(u,m)/dn(u,m).
The Jacobian elliptic function nc(u,m) = 1/cn(u,m).
The Jacobian elliptic function ds(u,m) = dn(u,m)/sn(u,m).
The Jacobian elliptic function dc(u,m) = dn(u,m)/cn(u,m).
The inverse of the Jacobian elliptic function sn(u,m).
The inverse of the Jacobian elliptic function cn(u,m).
The inverse of the Jacobian elliptic function dn(u,m).
The inverse of the Jacobian elliptic function ns(u,m).
The inverse of the Jacobian elliptic function sc(u,m).
The inverse of the Jacobian elliptic function sd(u,m).
The inverse of the Jacobian elliptic function nc(u,m).
The inverse of the Jacobian elliptic function cs(u,m).
The inverse of the Jacobian elliptic function cd(u,m).
The inverse of the Jacobian elliptic function nc(u,m).
The inverse of the Jacobian elliptic function ds(u,m).
The inverse of the Jacobian elliptic function dc(u,m).
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The incomplete elliptic integral of the first kind, defined as
integrate(1/sqrt(1 - m*sin(x)^2), x, 0, phi)
See also elliptic_e and elliptic_kc.
The incomplete elliptic integral of the second kind, defined as
elliptic_e(phi, m) = integrate(sqrt(1 - m*sin(x)^2), x, 0, phi)
See also elliptic_e and elliptic_ec.
The incomplete elliptic integral of the second kind, defined as
integrate(dn(v,m)^2,v,0,u) = integrate(sqrt(1-m*t^2)/sqrt(1-t^2), t, 0, tau)
where tau = sn(u,m).
This is related to elliptic_e by
elliptic_eu(u, m) = elliptic_e(asin(sn(u,m)),m)
See also elliptic_e.
The incomplete elliptic integral of the third kind, defined as
integrate(1/(1-n*sin(x)^2)/sqrt(1 - m*sin(x)^2), x, 0, phi)
Only the derivative with respect to phi is known by Maxima.
The complete elliptic integral of the first kind, defined as
integrate(1/sqrt(1 - m*sin(x)^2), x, 0, %pi/2)
For certain values of m, the value of the integral is known in
terms of Gamma functions. Use makegamma
to evaluate them.
The complete elliptic integral of the second kind, defined as
integrate(sqrt(1 - m*sin(x)^2), x, 0, %pi/2)
For certain values of m, the value of the integral is known in
terms of Gamma functions. Use makegamma
to evaluate them.
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The Hypergeometric Functions are defined in Abramowitz and Stegun, Handbook of Mathematical Functions, Chapters 13 and 15.
Maxima has very limited knowledge of these functions. They
can be returned from function hgfred
.
Whittaker M function
M[k,u](z) = exp(-z/2)*z^(1/2+u)*M(1/2+u-k,1+2*u,z)
.
(A&S 13.1.32)
Whittaker W function. (A&S 13.1.33)
The pFq(a1,a2,..ap;b1,b2,..bq;z) hypergeometric function,
where a
a list of length p
and
b
a list of length q
.
The hypergeometric function. Unlike Maxima's %f
hypergeometric
function, the function hypergeometric
is a simplifying
function; also, hypergeometric
supports complex double and
big floating point evaluation. For the Gauss hypergeometric function,
that is p = 2 and q = 1, floating point evaluation
outside the unit circle is supported, but in general, it is not
supported.
When the option variable expand_hypergeometric
is true (default
is false) and one of the arguments a1
through ap
is a
negative integer (a polynomial case), hypergeometric
returns an
expanded polynomial.
Examples:
(%i1) hypergeometric([],[],x); (%o1) %e^x
Polynomial cases automatically expand when expand_hypergeometric
is true:
(%i2) hypergeometric([-3],[7],x); (%o2) hypergeometric([-3],[7],x) (%i3) hypergeometric([-3],[7],x), expand_hypergeometric : true; (%o3) -x^3/504+3*x^2/56-3*x/7+1
Both double float and big float evaluation is supported:
(%i4) hypergeometric([5.1],[7.1 + %i],0.42); (%o4) 1.346250786375334 - 0.0559061414208204 %i (%i5) hypergeometric([5,6],[8], 5.7 - %i); (%o5) .007375824009774946 - .001049813688578674 %i (%i6) hypergeometric([5,6],[8], 5.7b0 - %i), fpprec : 30; (%o6) 7.37582400977494674506442010824b-3 - 1.04981368857867315858055393376b-3 %i
The parabolic cylinder function parabolic_cylinder_d(v,z)
. (A&s 19.3.1)
The Parabolic Cylinder Functions are defined in Abramowitz and Stegun, Handbook of Mathematical Functions, Chapter 19.
Maxima has very limited knowledge of these functions. They
can be returned from function hgfred
.
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ist der Polylogarithmus der Ordnung s und dem Argument z. Der Polylogarithmus wird durch die folgende Reihe definiert werden:
inf ==== k \ z Li (z) = > -- s / s ==== k k = 1
Für s=1 geht der Polylogarithmus in die gewöhnliche Logarithmusfunktion
über und man erhält -log(1-z)
. Für s=2 oder s=3 spricht man
vom Dilogarithmus oder Trilogarithmus.
Maxima vereinfacht für s=1 sofort zum gewöhnlichen Logarithmus. Für negative ganze Zahlen s einschließlich der Null vereinfacht Maxima den Polylogarithmus zu einer rationalen Funktion.
Ist s=2 oder s=3 und das Argument z eine Gleitkommazahl, vereinfacht Maxima den Di- oder Trilogarithmus zu einer Gleitkommazahl.
Beispiele:
(%i1) assume (x > 0); (%o1) [x > 0] (%i2) integrate ((log (1 - t)) / t, t, 0, x); (%o2) - li (x) 2 (%i3) li [2] (7); (%o3) li (7) 2 (%i4) li [2] (7), numer; (%o4) 1.24827317833392 - 6.113257021832577 %i (%i5) li [3] (7); (%o5) li (7) 3 (%i6) li [2] (7), numer; (%o6) 1.24827317833392 - 6.113257021832577 %i (%i7) L : makelist (i / 4.0, i, 0, 8); (%o7) [0.0, 0.25, 0.5, 0.75, 1.0, 1.25, 1.5, 1.75, 2.0] (%i8) map (lambda ([x], li [2] (x)), L); (%o8) [0, .2676526384986274, .5822405249432515, .9784693966661848, 1.64493407, 2.190177004178597 - .7010261407036192 %i, 2.374395264042415 - 1.273806203464065 %i, 2.448686757245154 - 1.758084846201883 %i, 2.467401098097648 - 2.177586087815347 %i] (%i9) map (lambda ([x], li [3] (x)), L); (%o9) [0, .2584613953442624, 0.537213192678042, .8444258046482203, 1.2020569, 1.642866878950322 - .07821473130035025 %i, 2.060877505514697 - .2582419849982037 %i, 2.433418896388322 - .4919260182322965 %i, 2.762071904015935 - .7546938285978846 %i]
Compute the Laplace transform of expr with respect to the variable t. The integrand expr may contain special functions.
The following special functions are handled by specint
: incomplete gamma
function, error functions (but not the error function erfi
, it is easy to
transform erfi
e.g. to the error function erf
), exponential
integrals, bessel functions (including products of bessel functions), hankel
functions, hermite and the laguerre polynomials.
Furthermore, specint
can handle the hypergeometric function
%f[p,q]([],[],z)
, the whittaker function of the first kind
%m[u,k](z)
and of the second kind %w[u,k](z)
.
The result may be in terms of special functions and can include unsimplified hypergeomtric functions.
When laplace
fails to find a Laplace transform, specint
is called.
Because laplace
knows more general rules for Laplace transforms, it is
preferable to use laplace
and not specint
.
demo(hypgeo)
displays several examples of Laplace transforms computed by
specint
.
Examples:
(%i1) assume (p > 0, a > 0)$ (%i2) specint (t^(1/2) * exp(-a*t/4) * exp(-p*t), t); sqrt(%pi) (%o2) ------------ a 3/2 2 (p + -) 4 (%i3) specint (t^(1/2) * bessel_j(1, 2 * a^(1/2) * t^(1/2)) * exp(-p*t), t); - a/p sqrt(a) %e (%o3) --------------- 2 p
Examples for exponential integrals:
(%i4) assume(s>0,a>0,s-a>0)$ (%i5) ratsimp(specint(%e^(a*t) *(log(a)+expintegral_e1(a*t))*%e^(-s*t),t)); log(s) (%o5) ------ s - a (%i6) logarc:true$ (%i7) gamma_expand:true$ radcan(specint((cos(t)*expintegral_si(t) -sin(t)*expintegral_ci(t))*%e^(-s*t),t)); log(s) (%o8) ------ 2 s + 1 ratsimp(specint((2*t*log(a)+2/a*sin(a*t) -2*t*expintegral_ci(a*t))*%e^(-s*t),t)); 2 2 log(s + a ) (%o9) ------------ 2 s
Results when using the expansion of gamma_incomplete
and when changing
the representation to expintegral_e1
:
(%i10) assume(s>0)$ (%i11) specint(1/sqrt(%pi*t)*unit_step(t-k)*%e^(-s*t),t); 1 gamma_incomplete(-, k s) 2 (%o11) ------------------------ sqrt(%pi) sqrt(s) (%i12) gamma_expand:true$ (%i13) specint(1/sqrt(%pi*t)*unit_step(t-k)*%e^(-s*t),t); erfc(sqrt(k) sqrt(s)) (%o13) --------------------- sqrt(s) (%i14) expintrep:expintegral_e1$ (%i15) ratsimp(specint(1/(t+a)^2*%e^(-s*t),t)); a s a s %e expintegral_e1(a s) - 1 (%o15) - --------------------------------- a
Simplify the generalized hypergeometric function in terms of other, simpler, forms. a is a list of numerator parameters and b is a list of the denominator parameters.
If hgfred
cannot simplify the hypergeometric function, it returns
an expression of the form %f[p,q]([a], [b], x)
where p is
the number of elements in a, and q is the number of elements
in b. This is the usual pFq
generalized hypergeometric
function.
(%i1) assume(not(equal(z,0))); (%o1) [notequal(z, 0)] (%i2) hgfred([v+1/2],[2*v+1],2*%i*z); v/2 %i z 4 bessel_j(v, z) gamma(v + 1) %e (%o2) --------------------------------------- v z (%i3) hgfred([1,1],[2],z); log(1 - z) (%o3) - ---------- z (%i4) hgfred([a,a+1/2],[3/2],z^2); 1 - 2 a 1 - 2 a (z + 1) - (1 - z) (%o4) ------------------------------- 2 (1 - 2 a) z
It can be beneficial to load orthopoly too as the following example shows. Note that L is the generalized Laguerre polynomial.
(%i5) load(orthopoly)$ (%i6) hgfred([-2],[a],z); (a - 1) 2 L (z) 2 (%o6) ------------- a (a + 1) (%i7) ev(%); 2 z 2 z (%o7) --------- - --- + 1 a (a + 1) a
The principal branch of Lambert's W funtion W(z), the solution of
z = W(z) * exp(W(z))
.
The Plasma Dispersion Function
nzeta(z) = %i*sqrt(%pi)*exp(-z^2)*(1-erf(-%i*z))
Returns realpart(nzeta(z))
.
Returns imagpart(nzeta(z))
.
Lommel's little s[u,v](z) function. Probably Gradshteyn & Ryzhik 8.570.1.
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