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17. Polynome


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17.1 Introduction to Polynomials

Polynome werden in einer allgemeinen Darstellung oder in einer kanonischen Darstellung (CRE - Cannonical Rational Expressions) gespeichert. Die CRE-Darstellung ist die Standardform für Operationen mit Polynomen und wird intern von Funktionen wie factor oder ratsimp verwendet.

Ausdrücke in einer CRE-Form sind besonders für die Darstellung von Polynomen und rationalen Funktionen geeignet. Die CRE-Form nimmt eine Ordnung der Variablen an. Polynome werden rekursiv als eine Liste definiert, die als ersten Eintrag den Namen der Variablen und als nächste Einträge die Exponenten und Koeffizienten der Variablen enthalten. Der Koeffizient kann eine Zahl oder wiederum ein Polynom sein. Zum Beispiel hat das Polynom 3*x^2-1 die Darstellung (X 2 3 0 -1) und das Polynom 2*x*y+x-3 die Darstellung (Y 1 (X 1 2) 0 (X 1 1 0 -3)), wenn y die Hauptvariable des Polynoms ist. Ist x die Hauptvariable des Polynoms, dann ist die Darstellung (X 1 (Y 1 2 0 1) 0 -3).

Die Ordnung der Variablen ist in der Regel umgekehrt alphabetisch. Die Variablen müssen keine Atome sein. Alle Ausdrücke, die nicht die Operatoren +, -, *, / oder ^ enthalten, werden in einer CRE-Darstellung als "Variable" angenommen. Zum Beispiel sind x, sqrt(x) und sin(x+1) die CRE-Variablen des Ausdrucks x+sin(x+1)+2*SQRT(x)+1. Wird vom Nutzer keine abweichende Ordnung der Variablen mit der Funktion ratvars definiert, nimmt Maxima eine alphabetische Ordnung der Variablen an.

Im Allgemeinen werden rationale Funktionen in einer CRE-Form dargestellt, die keinen gemeinsamen Faktor im Zähler und Nenner haben. Die interne Darstellung ist ein Paar von Polynomen, die jeweils den Zähler und den Nenner darstellen. Diesem Paar geht eine Liste mit der Ordnung der Variablen im Ausdruck voraus. Ein Ausdruck in einer CRE-Form oder der CRE-Formen enthält, wird in der Ausgabe mit dem Symbol /R/ gekennzeichnet. Mit der Funktion rat können allgemeine Ausdrücke in eine CRE-Form transformiert werden.

Für die Darstellung von Taylor-Polynomen der Funktion taylor wird eine erweiterte CRE-Form verwendet. In dieser Darstellung können die Exponenten von Polynomen auch rationale Zahlen sein. Weiterhin können die Koeffizienten rationale Funktionen sein. Die erweiterte CRE-Form enthält auch Informationen über den Grad des Polynoms. In der Ausgabe wird die erweiterte CRE-Form mit dem Symbol /T/ bezeichnet.


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17.2 Functions and Variables for Polynomials

Optionsvariable: algebraic

Standardwert: false

algebraic muss den Wert true haben, damit algebraische ganze Zahlen vereinfacht werden.

Optionsvariable: berlefact

Standardwert: true

Hat berlefact den Wert false, dann wird der Kronecker-Algorithmus für die Faktorisierung genutzt. Ansonsten wird der Berlekamp-Algorithmus genutzt. Das ist der Standard.

Funktion: bezout (p1, p2, x)

Die Rückgabe ist die Sylvestermatrix der zwei Polynome p1 und p2 mit der unabhängigen Variablen x. Die Determinante der Sylvestermatrix ist die Resultante der Polynome. Die Resultante kann auch sofort mit der Funktion resultant berechnet werden.

Beispiele:

(%i1) bezout(a*x+b, c*x^2+d, x);
                         [ b c  - a d ]
(%o1)                    [            ]
                         [  a     b   ]
(%i2) determinant(%);
                            2      2
(%o2)                      a  d + b  c
(%i3) resultant(a*x+b, c*x^2+d, x);
                            2      2
(%o3)                      a  d + b  c

Funktion: bothcoef (expr, x)

Gibt eine Liste zurück, deren erstes Element der Koeffizient der Variablen x im Ausdruck expr und deren zweites Element der verbleibende Teil des Ausdrucks expr ist. Das Ergebnis ist also [A,B] und es gilt expr = A * x + B.

Siehe auch die Funktion coeff.

Beispiele:

(%i1) bothcoeff(a*x+2,x);
(%o1)                        [a, 2]
(%i2) bothcoeff(x^2+a*x+2,x);
                                2
(%o2)                      [a, x  + 2]

Definition einer Funktion islinear, die die Funktion bothcoeff nutzt, um den linearen Anteil eines Ausdrucks zu ermitteln.

(%i1) islinear (expr, x) := block ([c],
        c: bothcoef (rat (expr, x), x),
        is (freeof (x, c) and c[1] # 0))$
(%i2) islinear ((r^2 - (x - r)^2)/x, x);
(%o2)                         true

Funktion: coeff (expr, x, n)
Funktion: coeff (expr, x)

Gibt den Koeffizienten von x^n im Ausdruck expr zurück, wobei expr ein Polynom ist.

Das Kommando coeff(expr, x^n) ist äquivalent zu coeff(expr, x, n). Das Kommando coeff(expr, x, 0) gibt den Rest des Ausdrucks expr zurück, der frei von der Variablen x ist. Wenn nicht angegeben, wird n als 1 angenommen.

x kann auch eine indizierte Variable oder ein Teilausdruck von expr sein.

coeff wendet weder die Funktion expand noch die Funktion factor an, um einen Ausdruck zu expandieren oder zu faktorisieren. Daher kann es zu anderen Ergebnissen kommen, wenn zuvor diese Funktionen angewendet werden.

Wird coeff auf Listen, Matrizen oder Gleichungen angewendet, wird die Funktion auf die Elemente bzw. beide Seiten der Gleichung angewendet.

Siehe auch die Funktion bothcoef.

Beispiele:

coeff gibt den Koeffizient x^n des Ausdruckes expr zurück.

(%i1) coeff (b^3*a^3 + b^2*a^2 + b*a + 1, a^3);
                                3
(%o1)                          b

coeff(expr, x^n) ist äquivalent zu coeff(expr, x, n).

(%i1) coeff (c[4]*z^4 - c[3]*z^3 - c[2]*z^2 + c[1]*z, z, 3);
(%o1)                         - c
                                 3
(%i2) coeff (c[4]*z^4 - c[3]*z^3 - c[2]*z^2 + c[1]*z, z^3);
(%o2)                         - c
                                 3

coeff(expr, x, 0) gibt den Rest des Ausdrucksw expr zurück, der frei von der Variablen x ist.

(%i1) coeff (a*u + b^2*u^2 + c^3*u^3, b, 0);
                            3  3
(%o1)                      c  u  + a u

x kann eine einfache Variable, eine indizierte Variable oder ein Teilausdruck des Ausdrucks expr sein.

(%i1) coeff (h^4 - 2*%pi*h^2 + 1, h, 2);
(%o1)                        - 2 %pi
(%i2) coeff (v[1]^4 - 2*%pi*v[1]^2 + 1, v[1], 2);
(%o2)                        - 2 %pi
(%i3) coeff (sin(1+x)*sin(x) + sin(1+x)^3*sin(x)^3, sin(1+x)^3);
                                3
(%o3)                        sin (x)
(%i4) coeff ((d - a)^2*(b + c)^3 + (a + b)^4*(c - d), a + b, 4);
(%o4)                         c - d

coeff wendet die Funktionen expand und factor nicht an.

(%i1) coeff (c*(a + b)^3, a);
(%o1)                           0
(%i2) expand (c*(a + b)^3);
                 3          2        2        3
(%o2)           b  c + 3 a b  c + 3 a  b c + a  c
(%i3) coeff (%, a);
                                2
(%o3)                        3 b  c
(%i4) coeff (b^3*c + 3*a*b^2*c + 3*a^2*b*c + a^3*c, (a + b)^3);
(%o4)                           0
(%i5) factor (b^3*c + 3*a*b^2*c + 3*a^2*b*c + a^3*c);
                                  3
(%o5)                      (b + a)  c
(%i6) coeff (%, (a + b)^3);
(%o6)                           c

coeff wird bei Listen und Matrizen auf die Elemente und bei Gleichungen auf die beiden Seiten angewendet.

(%i1) coeff ([4*a, -3*a, 2*a], a);
(%o1)                      [4, - 3, 2]
(%i2) coeff (matrix ([a*x, b*x], [-c*x, -d*x]), x);
                          [  a    b  ]
(%o2)                     [          ]
                          [ - c  - d ]
(%i3) coeff (a*u - b*v = 7*u + 3*v, u);
(%o3)                         a = 7

Maxima kennt keine Funktion, um eine Liste der Koeffizienten eines Polynoms zurückzugeben. Die folgende Definition der Funktion coeff_list liefert das gewünschte Ergebnis. Neben der Funktion coeff kommt die Funktion hipow zum Einsatz, um den höchsten Koeffizienten zu ermitteln. Die Funktionen cons und reverse werden verwendet, um die Koeffizienten einer Liste hinzufügen und um die Liste zu invertieren.

coeff_list(a,x) := 
   block([liste],
      liste:[],
      for i:0 thru hipow(a,x) do 
      (
        liste : cons(coeff(a,x,i),liste)
      ),
      reverse(liste)
   )$
(%i1) coeff_list(2*x^4+3*x^2+1,x);
(%o1)                    [1, 0, 3, 0, 2]

Funktion: content (p_1, x_1, …, x_n)

Gibt eine Liste zurück, deren erstes Element der größte gemeinsame Teiler der Koeffizienten des Polynoms p_1 in der Variablen x_n ist und dessen zweites Element das durch den größten gemeinsamen Teiler dividierte Polynom ist. Die anderen Variablen x_1, …, x_n-1 haben dieselbe Bedeutung wie für die Funktion ratvars.

Beispiel:

(%i1) content (2*x*y + 4*x^2*y^2, y);
                                   2
(%o1)                   [2 x, 2 x y  + y]

Funktion: denom (expr)

Gibt den Nenner des rationalen Ausdrucks expr zurück.

Beispiel:

(%i1) denom(x^2/(x+1));
(%o1)                         x + 1

Funktion: divide (p_1, p_2, x_1, …, x_n)

Berechnet den Quotienten und den Rest der Division des Polynom p_1 durch das Polynom p_2 für die Variable x_n. Die anderen Variablen x_1, …, x_n-1 haben dieselbe Bedeutung wie für die Funktion ratvars. Das Ergebnis ist eine Liste, wobei das erste Element der Quotient und das zweite Element der Rest ist.

Siehe auch die Funktionen quotient und remainder, die jeweils den Quotienten und den Rest der Polynomdivision zurückgegeben.

Beispiele:

Im zweiten Beispiel ist y die Hauptvariable des Ausdrucks.

(%i1) divide (x + y, x - y, x);
(%o1)                       [1, 2 y]
(%i2) divide (x + y, x - y);
(%o2)                      [- 1, 2 x]

Ein Beispiel für zwei Polynome in zwei Variablen.

(%i1) poly1 : sum(x^k*y^(6-k), k, 1, 5);
                  5    2  4    3  3    4  2    5
(%o1)          x y  + x  y  + x  y  + x  y  + x  y
(%i2) poly2 : sum(2*k*x^k*y^(3-k), k, 1, 3);
                          2      2        3
(%o2)                2 x y  + 4 x  y + 6 x
(%i3) divide(poly1, poly2, x);
              3        2      2          5       2  4
           4 y  + 3 x y  + 9 x  y  23 x y  + 16 x  y
(%o3)     [----------------------, ------------------]
                     54                    27
(%i4) expand(first(%)*poly2 + second(%));
                  5    2  4    3  3    4  2    5
(%o4)          x y  + x  y  + x  y  + x  y  + x  y

Optionsvariable: dontfactor

Standardwert: []

Der Optionsvariablen dontfactor kann eine Liste mit den Variablen zugewiesen werden, bezüglich der ein Ausdruck nicht faktorisiert werden soll. Weiterhin wird nicht bezüglich von Variablen faktorisiert, die gemäß der kanonischen Ordnung der Variablen von geringerer Bedeutung sind, als die Variablen in der Liste dontfactor.

Funktion: eliminate ([eqn_1, …, eqn_n], [x_1, …, x_k])

Wendet ein Subresultanten-Verfahren an, um die Variablen x_1, …, x_k aus den Gleichungen eqn_1, …, eqn_n zu eliminieren. Die Rückgabe ist ein Gleichungssystem mit n - k Gleichungen, wobei die k-Variablen x_1, …, x_k eliminiert sind.

Beispiel:

(%i1) eqn1: 2*x^2 + y*x + z;
                                      2
(%o1)                    z + x y + 2 x
(%i2) eqn2: 3*x + 5*y - z - 1;
(%o2)                  - z + 5 y + 3 x - 1
(%i3) eqn3: z^2 + x - y^2 + 5;
                          2    2
(%o3)                    z  - y  + x + 5
(%i4) eliminate([eqn1, eqn2, eqn3], [y,z]);
              2      4      3       2
(%o4)       [x  (45 x  + 3 x  + 11 x  + 81 x + 124)]

Funktion: ezgcd (p_1, p_2, p_3, …)

Gibt eine Liste zurück, deren erstes Element der größte gemeinsame Teiler der Polynome p_1, …, p_n ist und deren weitere Elemente die durch den größten gemeinsamen Teiler dividierten Polynome sind. Der größte gemeinsame Teiler wird immer mit dem ezgcd-Algorithmus bestimmt.

Siehe auch die Funktionen gcd, gcdex und gcdivide.

Beispiel:

(%i1) poly1 : 6*x^3-17*x^2+14*x-3;
                        3       2
(%o1)                6 x  - 17 x  + 14 x - 3
(%i2) poly2 : 4*x^4-14*x^3+12*x^2+2*x-3;
                    4       3       2
(%o2)            4 x  - 14 x  + 12 x  + 2 x - 3
(%i3) poly3 : -8*x^3+14*x^2-x-3;
                          3       2
(%o3)                - 8 x  + 14 x  - x - 3
(%i4) ezgcd(poly1, poly2, poly3);
                   2               3      2           2
(%o4) [2 x - 3, 3 x  - 4 x + 1, 2 x  - 4 x  + 1, - 4 x  + x + 1]

Optionsvariable: facexpand

Standardwert: true

facexpand kontrolliert, ob die irreduziblen Faktoren der Faktorisierung mit factor in einer expandierten oder in einer rekursiven (CRE-Form) vorliegen. Der Standard ist, das die Faktoren expandiert werden.

Funktion: factor (expr)
Funktion: factor (expr, p)

Factors the expression expr, containing any number of variables or functions, into factors irreducible over the integers. factor (expr, p) factors expr over the field of rationals with an element adjoined whose minimum polynomial is p.

factor uses ifactors function for factoring integers.

factorflag if false suppresses the factoring of integer factors of rational expressions.

dontfactor may be set to a list of variables with respect to which factoring is not to occur. (It is initially empty). Factoring also will not take place with respect to any variables which are less important (using the variable ordering assumed for CRE form) than those on the dontfactor list.

savefactors if true causes the factors of an expression which is a product of factors to be saved by certain functions in order to speed up later factorizations of expressions containing some of the same factors.

berlefact if false then the Kronecker factoring algorithm will be used otherwise the Berlekamp algorithm, which is the default, will be used.

intfaclim if true maxima will give up factorization of integers if no factor is found after trial divisions and Pollard's rho method. If set to false (this is the case when the user calls factor explicitly), complete factorization of the integer will be attempted. The user's setting of intfaclim is used for internal calls to factor. Thus, intfaclim may be reset to prevent Maxima from taking an inordinately long time factoring large integers.

Examples:

(%i1) factor (2^63 - 1);
                    2
(%o1)              7  73 127 337 92737 649657
(%i2) factor (-8*y - 4*x + z^2*(2*y + x));
(%o2)               (2 y + x) (z - 2) (z + 2)
(%i3) -1 - 2*x - x^2 + y^2 + 2*x*y^2 + x^2*y^2;
                2  2        2    2    2
(%o3)          x  y  + 2 x y  + y  - x  - 2 x - 1
(%i4) block ([dontfactor: [x]], factor (%/36/(1 + 2*y + y^2)));
                       2
                     (x  + 2 x + 1) (y - 1)
(%o4)                ----------------------
                           36 (y + 1)
(%i5) factor (1 + %e^(3*x));
                      x         2 x     x
(%o5)              (%e  + 1) (%e    - %e  + 1)
(%i6) factor (1 + x^4, a^2 - 2);
                    2              2
(%o6)             (x  - a x + 1) (x  + a x + 1)
(%i7) factor (-y^2*z^2 - x*z^2 + x^2*y^2 + x^3);
                       2
(%o7)              - (y  + x) (z - x) (z + x)
(%i8) (2 + x)/(3 + x)/(b + x)/(c + x)^2;
                             x + 2
(%o8)               ------------------------
                                           2
                    (x + 3) (x + b) (x + c)
(%i9) ratsimp (%);
                4                  3
(%o9) (x + 2)/(x  + (2 c + b + 3) x

     2                       2             2                   2
 + (c  + (2 b + 6) c + 3 b) x  + ((b + 3) c  + 6 b c) x + 3 b c )
(%i10) partfrac (%, x);
           2                   4                3
(%o10) - (c  - 4 c - b + 6)/((c  + (- 2 b - 6) c

     2              2         2                2
 + (b  + 12 b + 9) c  + (- 6 b  - 18 b) c + 9 b ) (x + c))

                 c - 2
 - ---------------------------------
     2                             2
   (c  + (- b - 3) c + 3 b) (x + c)

                         b - 2
 + -------------------------------------------------
             2             2       3      2
   ((b - 3) c  + (6 b - 2 b ) c + b  - 3 b ) (x + b)

                         1
 - ----------------------------------------------
             2
   ((b - 3) c  + (18 - 6 b) c + 9 b - 27) (x + 3)
(%i11) map ('factor, %);
              2
             c  - 4 c - b + 6                 c - 2
(%o11) - ------------------------- - ------------------------
                2        2                                  2
         (c - 3)  (c - b)  (x + c)   (c - 3) (c - b) (x + c)

                       b - 2                        1
            + ------------------------ - ------------------------
                             2                          2
              (b - 3) (c - b)  (x + b)   (b - 3) (c - 3)  (x + 3)
(%i12) ratsimp ((x^5 - 1)/(x - 1));
                       4    3    2
(%o12)                x  + x  + x  + x + 1
(%i13) subst (a, x, %);
                       4    3    2
(%o13)                a  + a  + a  + a + 1
(%i14) factor (%th(2), %);
                       2        3        3    2
(%o14)   (x - a) (x - a ) (x - a ) (x + a  + a  + a + 1)
(%i15) factor (1 + x^12);
                       4        8    4
(%o15)               (x  + 1) (x  - x  + 1)
(%i16) factor (1 + x^99);
                 2            6    3
(%o16) (x + 1) (x  - x + 1) (x  - x  + 1)

   10    9    8    7    6    5    4    3    2
 (x   - x  + x  - x  + x  - x  + x  - x  + x  - x + 1)

   20    19    17    16    14    13    11    10    9    7    6
 (x   + x   - x   - x   + x   + x   - x   - x   - x  + x  + x

    4    3            60    57    51    48    42    39    33
 - x  - x  + x + 1) (x   + x   - x   - x   + x   + x   - x

    30    27    21    18    12    9    3
 - x   - x   + x   + x   - x   - x  + x  + 1)

Optionsvariable: factorflag

Standardwert: false

Hat factorflag den Wert false, wird die Faktorisierung von ganzen Zahlen unterdrückt, die im Nenner auftreten.

Beispiel:

(%i1) factorflag:false;
(%o1)                         false
(%i2) factor(1/6*(x^2+2*x+1));
                                   2
                            (x + 1)
(%o2)                       --------
                               6
(%i3) factorflag:true;
(%o3)                         true
(%i4) factor(1/6*(x^2+2*x+1));
                                   2
                            (x + 1)
(%o4)                       --------
                              2 3

Funktion: factorout (expr, x_1, x_2, …)

Rearranges the sum expr into a sum of terms of the form f (x_1, x_2, ...)*g where g is a product of expressions not containing any x_i and f is factored.

Function: factorsum (expr)

Tries to group terms in factors of expr which are sums into groups of terms such that their sum is factorable. factorsum can recover the result of expand ((x + y)^2 + (z + w)^2) but it can't recover expand ((x + 1)^2 + (x + y)^2) because the terms have variables in common.

Example:

(%i1) expand ((x + 1)*((u + v)^2 + a*(w + z)^2));
           2      2                            2      2
(%o1) a x z  + a z  + 2 a w x z + 2 a w z + a w  x + v  x

                                     2        2    2            2
                        + 2 u v x + u  x + a w  + v  + 2 u v + u
(%i2) factorsum (%);
                                   2          2
(%o2)            (x + 1) (a (z + w)  + (v + u) )

Function: fasttimes (p_1, p_2)

Returns the product of the polynomials p_1 and p_2 by using a special algorithm for multiplication of polynomials. p_1 and p_2 should be multivariate, dense, and nearly the same size. Classical multiplication is of order n_1 n_2 where n_1 is the degree of p_1 and n_2 is the degree of p_2. fasttimes is of order max (n_1, n_2)^1.585.

Function: fullratsimp (expr)

fullratsimp repeatedly applies ratsimp followed by non-rational simplification to an expression until no further change occurs, and returns the result.

When non-rational expressions are involved, one call to ratsimp followed as is usual by non-rational ("general") simplification may not be sufficient to return a simplified result. Sometimes, more than one such call may be necessary. fullratsimp makes this process convenient.

fullratsimp (expr, x_1, ..., x_n) takes one or more arguments similar to ratsimp and rat.

Example:

(%i1) expr: (x^(a/2) + 1)^2*(x^(a/2) - 1)^2/(x^a - 1);
                       a/2     2   a/2     2
                     (x    - 1)  (x    + 1)
(%o1)                -----------------------
                              a
                             x  - 1
(%i2) ratsimp (expr);
                          2 a      a
                         x    - 2 x  + 1
(%o2)                    ---------------
                              a
                             x  - 1
(%i3) fullratsimp (expr);
                              a
(%o3)                        x  - 1
(%i4) rat (expr);
                       a/2 4       a/2 2
                     (x   )  - 2 (x   )  + 1
(%o4)/R/             -----------------------
                              a
                             x  - 1

Function: fullratsubst (a, b, c)

is the same as ratsubst except that it calls itself recursively on its result until that result stops changing. This function is useful when the replacement expression and the replaced expression have one or more variables in common.

fullratsubst will also accept its arguments in the format of lratsubst. That is, the first argument may be a single substitution equation or a list of such equations, while the second argument is the expression being processed.

load ("lrats") loads fullratsubst and lratsubst.

Examples:

(%i1) load ("lrats")$

subst can carry out multiple substitutions. lratsubst is analogous to subst.

(%i2) subst ([a = b, c = d], a + c);
(%o2)                         d + b
(%i3) lratsubst ([a^2 = b, c^2 = d], (a + e)*c*(a + c));
(%o3)                (d + a c) e + a d + b c

If only one substitution is desired, then a single equation may be given as first argument.

(%i4) lratsubst (a^2 = b, a^3);
(%o4)                          a b

fullratsubst is equivalent to ratsubst except that it recurses until its result stops changing.

(%i5) ratsubst (b*a, a^2, a^3);
                               2
(%o5)                         a  b
(%i6) fullratsubst (b*a, a^2, a^3);
                                 2
(%o6)                         a b

fullratsubst also accepts a list of equations or a single equation as first argument.

(%i7) fullratsubst ([a^2 = b, b^2 = c, c^2 = a], a^3*b*c);
(%o7)                           b
(%i8) fullratsubst (a^2 = b*a, a^3);
                                 2
(%o8)                         a b

fullratsubst may cause an indefinite recursion.

(%i9) errcatch (fullratsubst (b*a^2, a^2, a^3));

*** - Lisp stack overflow. RESET

Funktion: gcd (p_1, p_2, x_1, …)
Optionsvariable: gcd

Gibt den größten gemeinsamen Teiler der Polynome p_1 und p_2 zurück. Die Argumente x_1, … sind optional und haben dieselbe Bedeutung wie für die Funktion ratvars. Die Optionsvariable gcd kontrolliert, welcher Algorithmus verwendet wird und kann die folgenden Werte annehmen:

ez

ezgcd-Alogrithmus

subres

Subresultanten-Algorithmus

red

Reduzierter modularer Algorithmus

spmod

Modularer Algorithmus

false

kein Algorithmus, die Rückgabe ist immer 1

Siehe auch die Funktionen ezgcd, gcdex und gcdivide.

Funktion: gcdex (p_1, p_2)
Funktion: gcdex (p_1, p_2, x)

Wendet den erweiterten Euklidischen Algorithmus für die beiden Polynome p_1 und p_2 an und gibt eine Liste [s, t, u] mit den Parametern u, s und t als Ergebnis zurück. Der Parameter u ist der größte gemeinsame Teiler der Polynome. Die Parameter s und t sind die Bezoutkoeffizienten, so dass gilt u = s * p_1 + t * p_2.

Die Rückgabe der Funktion gcdex ist in der CRE-Form.

Siehe auch die Funktionen ezgcd, gcd und gcdivide.

Beispiel:

(%i1) gcdex (x^2 + 1, x^3 + 4);
                       2
                      x  + 4 x - 1  x + 4
(%o1)/R/           [- ------------, -----, 1]
                           17        17
(%i2) % . [x^2 + 1, x^3 + 4, -1];
(%o2)/R/                        0

Im folgenden Beispiel ist die unabhängige Variable explizit als x angegeben. Ohne diese Angabe ist y die unabhängige Variable.

(%i1) gcdex (x*(y + 1), y^2 - 1, x);
                               1
(%o1)/R/                 [0, ------, 1]
                              2
                             y  - 1

Function: gcfactor (n)

Factors the Gaussian integer n over the Gaussian integers, i.e., numbers of the form a + b %i where a and b are rational integers (i.e., ordinary integers). Factors are normalized by making a and b non-negative.

Function: gfactor (expr)

Factors the polynomial expr over the Gaussian integers (that is, the integers with the imaginary unit %i adjoined). This is like factor (expr, a^2+1) where a is %i.

Example:

(%i1) gfactor (x^4 - 1);
(%o1)           (x - 1) (x + 1) (x - %i) (x + %i)

Function: gfactorsum (expr)

is similar to factorsum but applies gfactor instead of factor.

Function: hipow (expr, x)

Gibt den größten Exponenten des Arguments x zurück, der im Ausdruck expr auftritt. Treten symbolische Exponenten auf, wird ein Ausdruck mit max zurückgegeben. Ist das Argument x nicht im Ausdruck vorhanden, ist die Rückgabe 0.

Die Funktion hipow betrachtet keine äquivalenten Ausdrücke. Daher können die Ausdrücke expand(expr) und expr ein verschiedenes Ergebnis haben.

Siehe auch die Funktionen lopow und coeff.

Beispiele:

(%i1) hipow (y^3 * x^2 + x * y^4, x);
(%o1)                           2
(%i2) hipow ((x + y)^5, x);
(%o2)                           1
(%i3) hipow (expand ((x + y)^5), x);
(%o3)                           5
(%i4) hipow ((x + y)^5, x + y);
(%o4)                           5
(%i5) hipow (expand ((x + y)^5), x + y);
(%o5)                           0
(%i1) hipow ((x+y)^2 + (x+y)^a, x+y);
(%o1)                       max(2, a)

Option variable: intfaclim

Default value: true

If true, maxima will give up factorization of integers if no factor is found after trial divisions and Pollard's rho method and factorization will not be complete.

When intfaclim is false (this is the case when the user calls factor explicitly), complete factorization will be attempted. intfaclim is set to false when factors are computed in divisors, divsum and totient.

Internal calls to factor respect the user-specified value of intfaclim. Setting intfaclim to true may reduce the time spent factoring large integers.

Option variable: keepfloat

Default value: false

When keepfloat is true, prevents floating point numbers from being rationalized when expressions which contain them are converted to canonical rational expression (CRE) form.

Note that the function solve and those functions calling it (eigenvalues, for example) currently ignore this flag, converting floating point numbers anyway.

Examples:

(%i1) rat(x/2.0);

`rat' replaced 0.5 by 1/2 = 0.5
                                       x
(%o1)/R/                               -
                                       2
(%i2) rat(x/2.0), keepfloat;

(%o2)/R/                             0.5 x

solve ignores keepfloat:

(%i3) solve(1.0-x,x), keepfloat;

`rat' replaced 1.0 by 1/1 = 1.0
(%o3)                               [x = 1]

Funktion: lopow (expr, x)

Gibt den kleinsten Exponenten von x zurück, der im Ausdruck expr auftritt. Treten symbolische Exponententen auf, wird ein Ausdruck mit min zurückgegeben. Ist das Argument x nicht im Ausdruck enthalten, ist die Rückgabe 0.

Die Funktion lopow betrachtet keine äquivalenten Ausdrücke. Daher können die Ausdrücke expand(expr) und expr ein verschiedenes Ergebnis haben.

Siehe auch die Funktionen hipow und coeff.

Beispiele:

(%i1) lopow ((x+y)^2 + (x+y)^a, x+y);
(%o1)                       min(a, 2)

Function: lratsubst (L, expr)

is analogous to subst (L, expr) except that it uses ratsubst instead of subst.

The first argument of lratsubst is an equation or a list of equations identical in format to that accepted by subst. The substitutions are made in the order given by the list of equations, that is, from left to right.

load ("lrats") loads fullratsubst and lratsubst.

Examples:

(%i1) load ("lrats")$

subst can carry out multiple substitutions. lratsubst is analogous to subst.

(%i2) subst ([a = b, c = d], a + c);
(%o2)                         d + b
(%i3) lratsubst ([a^2 = b, c^2 = d], (a + e)*c*(a + c));
(%o3)                (d + a c) e + a d + b c

If only one substitution is desired, then a single equation may be given as first argument.

(%i4) lratsubst (a^2 = b, a^3);
(%o4)                          a b

Option variable: modulus

Default value: false

When modulus is a positive number p, operations on rational numbers (as returned by rat and related functions) are carried out modulo p, using the so-called "balanced" modulus system in which n modulo p is defined as an integer k in [-(p-1)/2, ..., 0, ..., (p-1)/2] when p is odd, or [-(p/2 - 1), ..., 0, ...., p/2] when p is even, such that a p + k equals n for some integer a.

If expr is already in canonical rational expression (CRE) form when modulus is reset, then you may need to re-rat expr, e.g., expr: rat (ratdisrep (expr)), in order to get correct results.

Typically modulus is set to a prime number. If modulus is set to a positive non-prime integer, this setting is accepted, but a warning message is displayed. Maxima will allow zero or a negative integer to be assigned to modulus, although it is not clear if that has any useful consequences.

Function: num (expr)

Returns the numerator of expr if it is a ratio. If expr is not a ratio, expr is returned.

num evaluates its argument.

Function: partfrac (expr, var)

Expands the expression expr in partial fractions with respect to the main variable var. partfrac does a complete partial fraction decomposition. The algorithm employed is based on the fact that the denominators of the partial fraction expansion (the factors of the original denominator) are relatively prime. The numerators can be written as linear combinations of denominators, and the expansion falls out.

(%i1) 1/(1+x)^2 - 2/(1+x) + 2/(2+x);
                      2       2        1
(%o1)               ----- - ----- + --------
                    x + 2   x + 1          2
                                    (x + 1)
(%i2) ratsimp (%);
                                 x
(%o2)                 - -------------------
                         3      2
                        x  + 4 x  + 5 x + 2
(%i3) partfrac (%, x);
                      2       2        1
(%o3)               ----- - ----- + --------
                    x + 2   x + 1          2
                                    (x + 1)

Function: polydecomp (p, x)

Decomposes the polynomial p in the variable x into the functional composition of polynomials in x. polydecomp returns a list [p_1, ..., p_n] such that

lambda ([x], p_1) (lambda ([x], p_2) (... (lambda ([x], p_n) (x))
  ...))

is equal to p. The degree of p_i is greater than 1 for i less than n.

Such a decomposition is not unique.

Examples:

(%i1) polydecomp (x^210, x);
                          7   5   3   2
(%o1)                   [x , x , x , x ]
(%i2) p : expand (subst (x^3 - x - 1, x, x^2 - a));
                6      4      3    2
(%o2)          x  - 2 x  - 2 x  + x  + 2 x - a + 1
(%i3) polydecomp (p, x);
                        2       3
(%o3)                 [x  - a, x  - x - 1]

The following function composes L = [e_1, ..., e_n] as functions in x; it is the inverse of polydecomp:

compose (L, x) :=
  block ([r : x], for e in L do r : subst (e, x, r), r) $

Re-express above example using compose:

(%i3) polydecomp (compose ([x^2 - a, x^3 - x - 1], x), x);
                        2       3
(%o3)                 [x  - a, x  - x - 1]

Note that though compose (polydecomp (p, x), x) always returns p (unexpanded), polydecomp (compose ([p_1, ..., p_n], x), x) does not necessarily return [p_1, ..., p_n]:

(%i4) polydecomp (compose ([x^2 + 2*x + 3, x^2], x), x);
                          2       2
(%o4)                   [x  + 2, x  + 1]
(%i5) polydecomp (compose ([x^2 + x + 1, x^2 + x + 1], x), x);
                      2       2
                     x  + 3  x  + 5
(%o5)               [------, ------, 2 x + 1]
                       4       2

Funktion: polymod (p)
Function: polymod (p, m)

Konvertiert das Polynom p in eine modulare Darstellung bezüglich dem aktuellen Modul. Das Modul ist der Wert der Variablen modulus.

polymod(p, m konvertiert das Polynom bezüglich dem Modul m, anstatt dem aktuellen Modul modulus.

Siehe modulus.

Function: powers (expr, x)

Gives the powers of x occuring in expr.

load (powers) loads this function.

Funktion: quotient (p_1, p_2)
Funktion: quotient (p_1, p_2, x_1, …, x_n)

Berechnet den Quotienten der Polynome p_1 und p_2 für die Variable x_n. Die anderen Variablen x_1, …, x_n-1 haben dieselbe Bedeutung wie für die Funktion ratvars.

quotient gibt das erste Element des Ergebnisses der Funktion divide zurück.

Siehe auch die Funktion remainder.

Beispiel:

(%i1) poly1 : x^3-2*x^2-5*x+7;
                        3      2
(%o1)                  x  - 2 x  - 5 x + 7
(%i2) poly2 : x-1;
(%o2)                         x - 1
(%i3) quotient(poly1, poly2, x);
                            2
(%o3)                      x  - x - 6

Function: rat (expr)
Function: rat (expr, x_1, …, x_n)

Converts expr to canonical rational expression (CRE) form by expanding and combining all terms over a common denominator and cancelling out the greatest common divisor of the numerator and denominator, as well as converting floating point numbers to rational numbers within a tolerance of ratepsilon. The variables are ordered according to the x_1, ..., x_n, if specified, as in ratvars.

rat does not generally simplify functions other than addition +, subtraction -, multiplication *, division /, and exponentiation to an integer power, whereas ratsimp does handle those cases. Note that atoms (numbers and variables) in CRE form are not the same as they are in the general form. For example, rat(x)- x yields rat(0) which has a different internal representation than 0.

When ratfac is true, rat yields a partially factored form for CRE. During rational operations the expression is maintained as fully factored as possible without an actual call to the factor package. This should always save space and may save some time in some computations. The numerator and denominator are still made relatively prime (e.g. rat ((x^2 - 1)^4/(x + 1)^2) yields (x - 1)^4 (x + 1)^2), but the factors within each part may not be relatively prime.

ratprint if false suppresses the printout of the message informing the user of the conversion of floating point numbers to rational numbers.

keepfloat if true prevents floating point numbers from being converted to rational numbers.

See also ratexpand and ratsimp.

Examples:

(%i1) ((x - 2*y)^4/(x^2 - 4*y^2)^2 + 1)*(y + a)*(2*y + x) /
      (4*y^2 + x^2);
                                           4
                                  (x - 2 y)
              (y + a) (2 y + x) (------------ + 1)
                                   2      2 2
                                 (x  - 4 y )
(%o1)         ------------------------------------
                              2    2
                           4 y  + x
(%i2) rat (%, y, a, x);
                            2 a + 2 y
(%o2)/R/                    ---------
                             x + 2 y

Option variable: ratalgdenom

Default value: true

When ratalgdenom is true, allows rationalization of denominators with respect to radicals to take effect. ratalgdenom has an effect only when canonical rational expressions (CRE) are used in algebraic mode.

Function: ratcoef (expr, x, n)
Function: ratcoef (expr, x)

Returns the coefficient of the expression x^n in the expression expr. If omitted, n is assumed to be 1.

The return value is free (except possibly in a non-rational sense) of the variables in x. If no coefficient of this type exists, 0 is returned.

ratcoef expands and rationally simplifies its first argument and thus it may produce answers different from those of coeff which is purely syntactic. Thus ratcoef ((x + 1)/y + x, x) returns (y + 1)/y whereas coeff returns 1.

ratcoef (expr, x, 0), viewing expr as a sum, returns a sum of those terms which do not contain x. Therefore if x occurs to any negative powers, ratcoef should not be used.

Since expr is rationally simplified before it is examined, coefficients may not appear quite the way they were envisioned.

Example:

(%i1) s: a*x + b*x + 5$
(%i2) ratcoef (s, a + b);
(%o2)                           x

Function: ratdenom (expr)

Returns the denominator of expr, after coercing expr to a canonical rational expression (CRE). The return value is a CRE.

expr is coerced to a CRE by rat if it is not already a CRE. This conversion may change the form of expr by putting all terms over a common denominator.

denom is similar, but returns an ordinary expression instead of a CRE. Also, denom does not attempt to place all terms over a common denominator, and thus some expressions which are considered ratios by ratdenom are not considered ratios by denom.

Option variable: ratdenomdivide

Default value: true

When ratdenomdivide is true, ratexpand expands a ratio in which the numerator is a sum into a sum of ratios, all having a common denominator. Otherwise, ratexpand collapses a sum of ratios into a single ratio, the numerator of which is the sum of the numerators of each ratio.

Examples:

(%i1) expr: (x^2 + x + 1)/(y^2 + 7);
                            2
                           x  + x + 1
(%o1)                      ----------
                              2
                             y  + 7
(%i2) ratdenomdivide: true$
(%i3) ratexpand (expr);
                       2
                      x        x        1
(%o3)               ------ + ------ + ------
                     2        2        2
                    y  + 7   y  + 7   y  + 7
(%i4) ratdenomdivide: false$
(%i5) ratexpand (expr);
                            2
                           x  + x + 1
(%o5)                      ----------
                              2
                             y  + 7
(%i6) expr2: a^2/(b^2 + 3) + b/(b^2 + 3);
                                     2
                           b        a
(%o6)                    ------ + ------
                          2        2
                         b  + 3   b  + 3
(%i7) ratexpand (expr2);
                                  2
                             b + a
(%o7)                        ------
                              2
                             b  + 3

Function: ratdiff (expr, x)

Differentiates the rational expression expr with respect to x. expr must be a ratio of polynomials or a polynomial in x. The argument x may be a variable or a subexpression of expr.

The result is equivalent to diff, although perhaps in a different form. ratdiff may be faster than diff, for rational expressions.

ratdiff returns a canonical rational expression (CRE) if expr is a CRE. Otherwise, ratdiff returns a general expression.

ratdiff considers only the dependence of expr on x, and ignores any dependencies established by depends.

Example:

(%i1) expr: (4*x^3 + 10*x - 11)/(x^5 + 5);
                           3
                        4 x  + 10 x - 11
(%o1)                   ----------------
                              5
                             x  + 5
(%i2) ratdiff (expr, x);
                    7       5       4       2
                 8 x  + 40 x  - 55 x  - 60 x  - 50
(%o2)          - ---------------------------------
                          10       5
                         x   + 10 x  + 25
(%i3) expr: f(x)^3 - f(x)^2 + 7;
                         3       2
(%o3)                   f (x) - f (x) + 7
(%i4) ratdiff (expr, f(x));
                           2
(%o4)                   3 f (x) - 2 f(x)
(%i5) expr: (a + b)^3 + (a + b)^2;
                              3          2
(%o5)                  (b + a)  + (b + a)
(%i6) ratdiff (expr, a + b);
                    2                    2
(%o6)            3 b  + (6 a + 2) b + 3 a  + 2 a

Function: ratdisrep (expr)

Returns its argument as a general expression. If expr is a general expression, it is returned unchanged.

Typically ratdisrep is called to convert a canonical rational expression (CRE) into a general expression. This is sometimes convenient if one wishes to stop the "contagion", or use rational functions in non-rational contexts.

See also totaldisrep.

Function: ratexpand (expr)
Option variable: ratexpand

Expands expr by multiplying out products of sums and exponentiated sums, combining fractions over a common denominator, cancelling the greatest common divisor of the numerator and denominator, then splitting the numerator (if a sum) into its respective terms divided by the denominator.

The return value of ratexpand is a general expression, even if expr is a canonical rational expression (CRE).

The switch ratexpand if true will cause CRE expressions to be fully expanded when they are converted back to general form or displayed, while if it is false then they will be put into a recursive form. See also ratsimp.

When ratdenomdivide is true, ratexpand expands a ratio in which the numerator is a sum into a sum of ratios, all having a common denominator. Otherwise, ratexpand collapses a sum of ratios into a single ratio, the numerator of which is the sum of the numerators of each ratio.

When keepfloat is true, prevents floating point numbers from being rationalized when expressions which contain them are converted to canonical rational expression (CRE) form.

Examples:

(%i1) ratexpand ((2*x - 3*y)^3);
                     3         2       2        3
(%o1)          - 27 y  + 54 x y  - 36 x  y + 8 x
(%i2) expr: (x - 1)/(x + 1)^2 + 1/(x - 1);
                         x - 1       1
(%o2)                   -------- + -----
                               2   x - 1
                        (x + 1)
(%i3) expand (expr);
                    x              1           1
(%o3)          ------------ - ------------ + -----
                2              2             x - 1
               x  + 2 x + 1   x  + 2 x + 1
(%i4) ratexpand (expr);
                        2
                     2 x                 2
(%o4)           --------------- + ---------------
                 3    2            3    2
                x  + x  - x - 1   x  + x  - x - 1

Option variable: ratfac

Default value: false

When ratfac is true, canonical rational expressions (CRE) are manipulated in a partially factored form.

During rational operations the expression is maintained as fully factored as possible without calling factor. This should always save space and may save time in some computations. The numerator and denominator are made relatively prime, for example rat ((x^2 - 1)^4/(x + 1)^2) yields (x - 1)^4 (x + 1)^2), but the factors within each part may not be relatively prime.

In the ctensr (Component Tensor Manipulation) package, Ricci, Einstein, Riemann, and Weyl tensors and the scalar curvature are factored automatically when ratfac is true. ratfac should only be set for cases where the tensorial components are known to consist of few terms.

The ratfac and ratweight schemes are incompatible and may not both be used at the same time.

Function: ratnumer (expr)

Returns the numerator of expr, after coercing expr to a canonical rational expression (CRE). The return value is a CRE.

expr is coerced to a CRE by rat if it is not already a CRE. This conversion may change the form of expr by putting all terms over a common denominator.

num is similar, but returns an ordinary expression instead of a CRE. Also, num does not attempt to place all terms over a common denominator, and thus some expressions which are considered ratios by ratnumer are not considered ratios by num.

Function: ratp (expr)

Returns true if expr is a canonical rational expression (CRE) or extended CRE, otherwise false.

CRE are created by rat and related functions. Extended CRE are created by taylor and related functions.

Option variable: ratprint

Default value: true

When ratprint is true, a message informing the user of the conversion of floating point numbers to rational numbers is displayed.

Function: ratsimp (expr)
Function: ratsimp (expr, x_1, …, x_n)

Simplifies the expression expr and all of its subexpressions, including the arguments to non-rational functions. The result is returned as the quotient of two polynomials in a recursive form, that is, the coefficients of the main variable are polynomials in the other variables. Variables may include non-rational functions (e.g., sin (x^2 + 1)) and the arguments to any such functions are also rationally simplified.

ratsimp (expr, x_1, ..., x_n) enables rational simplification with the specification of variable ordering as in ratvars.

When ratsimpexpons is true, ratsimp is applied to the exponents of expressions during simplification.

See also ratexpand. Note that ratsimp is affected by some of the flags which affect ratexpand.

Examples:

(%i1) sin (x/(x^2 + x)) = exp ((log(x) + 1)^2 - log(x)^2);
                                         2      2
                   x         (log(x) + 1)  - log (x)
(%o1)        sin(------) = %e
                  2
                 x  + x
(%i2) ratsimp (%);
                             1          2
(%o2)                  sin(-----) = %e x
                           x + 1
(%i3) ((x - 1)^(3/2) - (x + 1)*sqrt(x - 1))/sqrt((x - 1)*(x + 1));
                       3/2
                (x - 1)    - sqrt(x - 1) (x + 1)
(%o3)           --------------------------------
                     sqrt((x - 1) (x + 1))
(%i4) ratsimp (%);
                           2 sqrt(x - 1)
(%o4)                    - -------------
                                 2
                           sqrt(x  - 1)
(%i5) x^(a + 1/a), ratsimpexpons: true;
                               2
                              a  + 1
                              ------
                                a
(%o5)                        x

Option variable: ratsimpexpons

Default value: false

When ratsimpexpons is true, ratsimp is applied to the exponents of expressions during simplification.

Optionsvariable: radsubstflag

Standardwert: false

Hat radsubstflag den Wert true, wird verhindert, dass die Funktion ratsubst zum Beispiel u für sqrt(x) in x substituiert.

Function: ratsubst (a, b, c)

Substitutes a for b in c and returns the resulting expression. b may be a sum, product, power, etc.

ratsubst knows something of the meaning of expressions whereas subst does a purely syntactic substitution. Thus subst (a, x + y, x + y + z) returns x + y + z whereas ratsubst returns z + a.

When radsubstflag is true, ratsubst makes substitutions for radicals in expressions which don't explicitly contain them.

Examples:

(%i1) ratsubst (a, x*y^2, x^4*y^3 + x^4*y^8);
                              3      4
(%o1)                      a x  y + a
(%i2) cos(x)^4 + cos(x)^3 + cos(x)^2 + cos(x) + 1;
               4         3         2
(%o2)       cos (x) + cos (x) + cos (x) + cos(x) + 1
(%i3) ratsubst (1 - sin(x)^2, cos(x)^2, %);
            4           2                     2
(%o3)    sin (x) - 3 sin (x) + cos(x) (2 - sin (x)) + 3
(%i4) ratsubst (1 - cos(x)^2, sin(x)^2, sin(x)^4);
                        4           2
(%o4)                cos (x) - 2 cos (x) + 1
(%i5) radsubstflag: false$
(%i6) ratsubst (u, sqrt(x), x);
(%o6)                           x
(%i7) radsubstflag: true$
(%i8) ratsubst (u, sqrt(x), x);
                                2
(%o8)                          u

Function: ratvars (x_1, …, x_n)
Function: ratvars ()
System variable: ratvars

Declares main variables x_1, ..., x_n for rational expressions. x_n, if present in a rational expression, is considered the main variable. Otherwise, x_[n-1] is considered the main variable if present, and so on through the preceding variables to x_1, which is considered the main variable only if none of the succeeding variables are present.

If a variable in a rational expression is not present in the ratvars list, it is given a lower priority than x_1.

The arguments to ratvars can be either variables or non-rational functions such as sin(x).

The variable ratvars is a list of the arguments of the function ratvars when it was called most recently. Each call to the function ratvars resets the list. ratvars () clears the list.

Function: ratweight (x_1, w_1, …, x_n, w_n)
Function: ratweight ()

Assigns a weight w_i to the variable x_i. This causes a term to be replaced by 0 if its weight exceeds the value of the variable ratwtlvl (default yields no truncation). The weight of a term is the sum of the products of the weight of a variable in the term times its power. For example, the weight of 3 x_1^2 x_2 is 2 w_1 + w_2. Truncation according to ratwtlvl is carried out only when multiplying or exponentiating canonical rational expressions (CRE).

ratweight () returns the cumulative list of weight assignments.

Note: The ratfac and ratweight schemes are incompatible and may not both be used at the same time.

Examples:

(%i1) ratweight (a, 1, b, 1);
(%o1)                     [a, 1, b, 1]
(%i2) expr1: rat(a + b + 1)$
(%i3) expr1^2;
                  2                  2
(%o3)/R/         b  + (2 a + 2) b + a  + 2 a + 1
(%i4) ratwtlvl: 1$
(%i5) expr1^2;
(%o5)/R/                  2 b + 2 a + 1

System variable: ratweights

Default value: []

ratweights is the list of weights assigned by ratweight. The list is cumulative: each call to ratweight places additional items in the list.

kill (ratweights) and save (ratweights) both work as expected.

Option variable: ratwtlvl

Default value: false

ratwtlvl is used in combination with the ratweight function to control the truncation of canonical rational expressions (CRE). For the default value of false, no truncation occurs.

Funktion: remainder (p_1, p_2)
Funktion: remainder (p_1, p_2, x_1, …, x_n)

Berechnet den Rest der Polynomdivision von p_1 und p_2 für die Variable x_n. Die anderen Variablen x_1, …, x_n-1 haben dieselbe Bedeutung wie für die Funktion ratvars.

remainder gibt das zweite Element des Ergebnisses der Funktion divide zurück.

Siehe auch die Funktion quotient.

Beispiel:

(%i1) poly1 : x^3-2*x^2-5*x+7;
                        3      2
(%o1)                  x  - 2 x  - 5 x + 7
(%i2) poly2 : x^2+1;
                              2
(%o2)                        x  + 1
(%i3) remainder(poly1, poly2, x);
(%o3)                        9 - 6 x

Funktion: resultant (p_1, p_2, x)
Optionsvariable: resultant

Berechnet die Resultante der Polynome p_1 und p_2 und eliminiert die unabhängige Variable x. Die Resultante ist die Determinate der Sylvestermatrix für die beiden Polynome. Das Ergebnis ist Null, wenn die beiden Polynome p_1 und p_2 einen gemeinsamen Faktor haben.

Können die Polynome p_1 oder p_2 faktorisiert werden, kann es von Vorteil sein, die Faktorisierung zuvor auszuführen.

Die Optionsvariable resultant kontrolliert, welcher Algorithmus für die Berechnung der Resultante von Maxima genutzt wird. Die möglichen Werte sind:

subres

Subresultanten-Algorithmus

mod

Modularer Resultanten-Algorithmus

red

Reduzierter Subresultanten-Algorithmus

Die Funktion bezout berechnet die Sylvestermatrix der Polynome p_1 und p_2. Die Determinate der Sylvestermatrix ist die Resultante.

Beispiele:

(%i1) resultant(2*x^2+3*x+1, 2*x^2+x+1, x);
(%o1)                           8
(%i2) resultant(x+1, x+1, x);
(%o2)                           0
(%i3) resultant((x+1)*x, (x+1), x);
(%o3)                           0
(%i4) resultant(a*x^2+b*x+1, c*x + 2, x);
                         2
(%o4)                   c  - 2 b c + 4 a

(%i5) bezout(a*x^2+b*x+1, c*x+2, x);
                        [ 2 a  2 b - c ]
(%o5)                   [              ]
                        [  c      2    ]
(%i6) determinant(%);
(%o6)                   4 a - (2 b - c) c

Option variable: savefactors

Default value: false

When savefactors is true, causes the factors of an expression which is a product of factors to be saved by certain functions in order to speed up later factorizations of expressions containing some of the same factors.

Function: showratvars (expr)

Returns a list of the canonical rational expression (CRE) variables in expression expr.

See also ratvars.

Function: sqfr (expr)

is similar to factor except that the polynomial factors are "square-free." That is, they have factors only of degree one. This algorithm, which is also used by the first stage of factor, utilizes the fact that a polynomial has in common with its n'th derivative all its factors of degree greater than n. Thus by taking greatest common divisors with the polynomial of the derivatives with respect to each variable in the polynomial, all factors of degree greater than 1 can be found.

Example:

(%i1) sqfr (4*x^4 + 4*x^3 - 3*x^2 - 4*x - 1);
                                2   2
(%o1)                  (2 x + 1)  (x  - 1)

Funktion: tellrat (p_1, …, p_n)
Funktion: tellrat ()

Adds to the ring of algebraic integers known to Maxima the elements which are the solutions of the polynomials p_1, ..., p_n. Each argument p_i is a polynomial with integer coefficients.

tellrat (x) effectively means substitute 0 for x in rational functions.

tellrat () returns a list of the current substitutions.

algebraic must be set to true in order for the simplification of algebraic integers to take effect.

Maxima initially knows about the imaginary unit %i and all roots of integers.

There is a command untellrat which takes kernels and removes tellrat properties.

When tellrat'ing a multivariate polynomial, e.g., tellrat (x^2 - y^2), there would be an ambiguity as to whether to substitute y^2 for x^2 or vice versa. Maxima picks a particular ordering, but if the user wants to specify which, e.g. tellrat (y^2 = x^2) provides a syntax which says replace y^2 by x^2.

Beispiele:

(%i1) 10*(%i + 1)/(%i + 3^(1/3));
                           10 (%i + 1)
(%o1)                      -----------
                                  1/3
                            %i + 3
(%i2) ev (ratdisrep (rat(%)), algebraic);
             2/3      1/3              2/3      1/3
(%o2)    (4 3    - 2 3    - 4) %i + 2 3    + 4 3    - 2
(%i3) tellrat (1 + a + a^2);
                            2
(%o3)                     [a  + a + 1]
(%i4) 1/(a*sqrt(2) - 1) + a/(sqrt(3) + sqrt(2));
                      1                 a
(%o4)           ------------- + -----------------
                sqrt(2) a - 1   sqrt(3) + sqrt(2)
(%i5) ev (ratdisrep (rat(%)), algebraic);
         (7 sqrt(3) - 10 sqrt(2) + 2) a - 2 sqrt(2) - 1
(%o5)    ----------------------------------------------
                               7
(%i6) tellrat (y^2 = x^2);
                        2    2   2
(%o6)                 [y  - x , a  + a + 1]

Funktion: totaldisrep (expr)

Konvertiert alle Teilausdrücke im Ausdruck expr von der CRE-Form in die allgemeine Form und gibt das Ergebnis zurück. Ist expr selbst eine CRE-Form, dann entspricht totaldisrep der Funktion ratdisrep.

totaldisrep ist insbesondere hilfreich, wenn Gleichungen, Listen oder Matrizen in eine allgmeine Form zu konvertieren sind.

Funktion: untellrat (x_1, …, x_n)

Entfernt Eigenschaften von den Symbolen x_1, …, x_n, die mit der Funktion tellrat zugewiesen wurden.


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