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8.1 Einführung in die Auswertung | ||
8.2 Funktionen und Variablen für die Auswertung |
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Im Kapitel Einführung in die Kommandozeile wurden die vier Phasen der Eingabe, Auswertung, Vereinfachung und Ausgabe erläutert, die jede Eingabe des Nutzers bis zur Ausgabe auf der Konsole durchläuft.
Jede Eingabe eines Ausdrucks expr wird von Maxima ausgewertet. Symbole, die keinen Wert haben, und Zahlen werden zu sich selbst ausgewertet. Symbole, die einen Wert haben, werden durch ihren Wert ersetzt.
Beispiele:
Im ersten Beispiel werden Symbole und Zahlen zu sich selbst ausgewertet. Im
zweiten Beispiel erhält die Variable a
den Wert 2
. In den
folgenden Ausdrücken wird die Variable a
ausgewertet und durch ihren
Wert ersetzt.
(%i1) [a, b, 2, 1/2, 1.0]; 1 (%o1) [a, b, 2, -, 1.0] 2 (%i2) a:2$ (%i3) [a, sin(a), a^2]; (%o3) [2, sin(2), 4]
Maxima unterscheidet Funktionen in einer Verbform von Funktionen in einer Substantivform. Funktionen in einer Verbform werden ausgewertet, indem die Funktion auf ihre Argumente angewendet wird. Vor der Anwendung der Funktion werden die Argumente ausgewertet. Im Gegensatz dazu werden Funktionen in einer Substantivform nicht ausgewertet. Weiterhin werden jedoch die Argumente ausgwertet. Funktionen können in beiden Formen auftreten. Typische Beispiele sind die Differentiation oder die Integration. Siehe zum diesem Thema auch das Kapitel Substantive und Verben.
Beispiele:
Die Variable a
erhält einen Wert. Im ersten Fall liegt die Funktion
diff
in ihrer Verbform vor. Die Auswertung bewirkt, dass die Funktion
auf die Argumente a*x^2
und x angewendet wird. Im zweiten Fall
liegt die Funktion diff
in ihrer Substantivform vor. Dies wird hier
durch den Quote-Operator '
bewirkt. Jetzt wird die Funktion nicht
angewendet. Das Ergebnis ein symbolischer Ausdruck für die Ableitung. Da
auch in diesem Fall die Argumente ausgewertet werden, wird auch hier der Wert
1/2
für die Variable a
eingesetzt.
(%i1) a:1/2; 1 (%o1) - 2 (%i2) diff(a*x^2, x); (%o2) x (%i3) 'diff(a*x^2, x); 2 d x (%o3) -- (--) dx 2
Nicht alle Maxima-Funktionen werten die Argumente aus. Die Dokumentation der Funktionen gibt häufig einen Hinweis darauf, ob die Argumente ausgewertet werden oder nicht.
Beispiel:
Die Funktion properties
wertet das Argument nicht aus. Dies ist
notwendig, da ansonsten die Eigenschaften einer Variablen nicht angezeigt
werden könnten. Im ersten Fall ist das Ergebnis eine leere Liste. Das
Symbol a
hat keine Eigenschaften. Im zweiten Fall erhält die Variable
a
einen Wert. Die Funktion properties
wertet ihr Argument nicht
aus und a
wird nicht durch den Wert 2
ersetzt. Die Funktion
properties
zeigt weiterhin die Eigenschaften des Symbols a
an.
(%i1) properties(a); (%o1) [] (%i2) a:2$ (%i3) properties(a); (%o3) [value]
Die Auswertung von Symbolen, Funktionen und Ausdrücken kann mit dem
Quote-Operator '
und dem Quote-Quote-Operator "
kontrolliert
werden. Der Quote-Operator unterdrückt die Auswertung. Dagegen erzwingt der
Quote-Quote-Operator die Auswertung.
Mit der Funktion ev
kann ein Ausdruck in einer definierten Umgebung
ausgewertet werden, in der Optionsvariablen für die Auswertung einen
bestimmten Wert erhalten oder Auswertungsschalter evflag
oder
Auswertungsfunktionen evfun
angewendet werden.
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Der Quote-Operator '
unterdrückt die Auswertung eines Symbols oder
Ausdrucks. Auf eine Funktion angewendet, unterdrückt der Quote-Operator die
Auswertung der Funktion. Die Auswertung der Argumente der Funktion wird nicht
unterdrückt. Das Ergebnis ist die Substantivform der Funktion.
Wird der Quote-Operator auf einen eingeklammerten Ausdruck angewendet, wird die
Auswertung aller Symbole und Funktionen innerhalb der Klammern unterdrückt.
'(f(x))
bedeutet, dass der Ausdruck f(x)
nicht ausgewertet werden
soll. 'f(x)
bedeutet, dass die Substantivform von f
auf das
ausgewertete Argument x angewendet wird.
Der Quote-Operator unterdrückt die Auswertung, aber nicht die Vereinfachung von Ausdrücken.
Substantivformen werden mit einem Hochkomma angezeigt, wenn die Optionsvariable
noundisp
den Wert true
hat.
Siehe auch den Quote-Quote-Operator "
und den Auswertungsschalter
nouns
.
Beispiele:
Auf ein Symbol angewendet, unterdrückt der Quote-Operator die Auswertung des Symbols.
(%i1) aa: 1024; (%o1) 1024 (%i2) aa^2; (%o2) 1048576 (%i3) 'aa^2; 2 (%o3) aa (%i4) ''%; (%o4) 1048576
Auf eine Funktion angewendet, unterdrückt der Quote-Operator die Auswertung der Funktion. Das Ergebnis ist die Substantivform der Funktion.
(%i1) x0: 5; (%o1) 5 (%i2) x1: 7; (%o2) 7 (%i3) integrate (x^2, x, x0, x1); 218 (%o3) --- 3 (%i4) 'integrate (x^2, x, x0, x1); 7 / [ 2 (%o4) I x dx ] / 5 (%i5) %, nouns; 218 (%o5) --- 3
Wird der Quote-Operator auf einen eingeklammerten Ausdruck angewendet, wird die Auswertung aller Symbole und Funktionen innerhalb der Klammern unterdrückt.
(%i1) aa: 1024; (%o1) 1024 (%i2) bb: 19; (%o2) 19 (%i3) sqrt(aa) + bb; (%o3) 51 (%i4) '(sqrt(aa) + bb); (%o4) bb + sqrt(aa) (%i5) ''%; (%o5) 51
Der Quot-Operator unterdrückt nicht die Vereinfachung von Ausdrücken.
(%i1) sin (17 * %pi) + cos (17 * %pi); (%o1) - 1 (%i2) '(sin (17 * %pi) + cos (17 * %pi)); (%o2) - 1
Gleitkommarechnungen sind eine Vereinfachung und keine Auswertung. Daher kann
die Berechnung von sin(1.0)
nicht mit dem Quote-Operator unterdrückt
werden.
(%i1) sin(1.0); (%o1) .8414709848078965 (%i2) '(sin(1.0)); (%o2) .8414709848078965
Der Quote-Quote-Operator ''
(zwei Hochkommata) modifiziert die
Auswertung von Ausdrücken, die von der Eingabe gelesen werden.
Wird der Quote-Quote-Operator auf einen allgemeinen Ausdruck expr angewendet, wird der Ausdruck expr durch seinen Wert ersetzt.
Wird der Quote-Quote-Operator auf den Operator eines Ausdruckes angewendet, ändert sich der Operator, wenn er in seiner Substantivform vorliegt, in die Verbform.
Der Quote-Quote-Operator wird vom Parser, der die Eingabe liest, sofort angewendet und nicht im eingelesen Ausdruck gespeichert. Daher kann die Auswertung des Quote-Quote-Operators nicht durch einen weiteren Quote-Operator verhindert werden. Der Quote-Quote-Operator führt zur Auswertung von Ausdrücken, deren Auswertung unterdrückt ist. Das ist der Fall für Funktionsdefinitionen, Lambda-Ausdrücke und Ausdrücke, deren Auswertung durch den Quote-Operator verhindert wurde.
Der Quote-Quote-Operator wird von den Befehlen batch
und
load
erkannt.
Siehe auch den Quote-Operator '
und das Auswertungsflag nouns
.
Beispiele:
Wird der Quote-Quote-Operator auf einen Ausdruck expr angewendet, wird der Wert von expr in den Ausdruck eingesetzt.
(%i1) expand ((a + b)^3); 3 2 2 3 (%o1) b + 3 a b + 3 a b + a (%i2) [_, ''_]; 3 3 2 2 3 (%o2) [expand((b + a) ), b + 3 a b + 3 a b + a ] (%i3) [%i1, ''%i1]; 3 3 2 2 3 (%o3) [expand((b + a) ), b + 3 a b + 3 a b + a ] (%i4) [aa : cc, bb : dd, cc : 17, dd : 29]; (%o4) [cc, dd, 17, 29] (%i5) foo_1 (x) := aa - bb * x; (%o5) foo_1(x) := aa - bb x (%i6) foo_1 (10); (%o6) cc - 10 dd (%i7) ''%; (%o7) - 273 (%i8) ''(foo_1 (10)); (%o8) - 273 (%i9) foo_2 (x) := ''aa - ''bb * x; (%o9) foo_2(x) := cc - dd x (%i10) foo_2 (10); (%o10) - 273 (%i11) [x0 : x1, x1 : x2, x2 : x3]; (%o11) [x1, x2, x3] (%i12) x0; (%o12) x1 (%i13) ''x0; (%o13) x2 (%i14) '' ''x0; (%o14) x3
Wird der Quote-Quote-Operator auf den Operator in einem Ausdruck angewendet, ändert sich der Operator von seiner Substantivform in die Verbform.
(%i1) declare (foo, noun); (%o1) done (%i2) foo (x) := x - 1729; (%o2) ''foo(x) := x - 1729 (%i3) foo (100); (%o3) foo(100) (%i4) ''foo (100); (%o4) - 1629
Der Quote-Quote-Operator wird vom Parser sofort auf den eingelesenen Ausdruck angewendet und ist nicht Teil eines Maxima-Ausdrucks.
(%i1) [aa : bb, cc : dd, bb : 1234, dd : 5678]; (%o1) [bb, dd, 1234, 5678] (%i2) aa + cc; (%o2) dd + bb (%i3) display (_, op (_), args (_)); _ = cc + aa op(cc + aa) = + args(cc + aa) = [cc, aa] (%o3) done (%i4) ''(aa + cc); (%o4) 6912 (%i5) display (_, op (_), args (_)); _ = dd + bb op(dd + bb) = + args(dd + bb) = [dd, bb] (%o5) done
Der Quote-Quote-Operator bewirkt die Auswertung von Ausdrücken, deren Auswertung unterdrückt ist wie in Funktionsdefinitionen, Lambda-Ausdrücken und Ausdrücken, auf die der Quote-Operator angewendet wurde.
(%i1) foo_1a (x) := ''(integrate (log (x), x)); (%o1) foo_1a(x) := x log(x) - x (%i2) foo_1b (x) := integrate (log (x), x); (%o2) foo_1b(x) := integrate(log(x), x) (%i3) dispfun (foo_1a, foo_1b); (%t3) foo_1a(x) := x log(x) - x (%t4) foo_1b(x) := integrate(log(x), x) (%o4) [%t3, %t4] (%i4) integrate (log (x), x); (%o4) x log(x) - x (%i5) foo_2a (x) := ''%; (%o5) foo_2a(x) := x log(x) - x (%i6) foo_2b (x) := %; (%o6) foo_2b(x) := % (%i7) dispfun (foo_2a, foo_2b); (%t7) foo_2a(x) := x log(x) - x (%t8) foo_2b(x) := % (%o8) [%t7, %t8] (%i8) F : lambda ([u], diff (sin (u), u)); (%o8) lambda([u], diff(sin(u), u)) (%i9) G : lambda ([u], ''(diff (sin (u), u))); (%o9) lambda([u], cos(u)) (%i10) '(sum (a[k], k, 1, 3) + sum (b[k], k, 1, 3)); (%o10) sum(b , k, 1, 3) + sum(a , k, 1, 3) k k (%i11) '(''(sum (a[k], k, 1, 3)) + ''(sum (b[k], k, 1, 3))); (%o11) b + a + b + a + b + a 3 3 2 2 1 1
Wertet den Ausdruck expr in einer Umgebung aus, die durch die Argumente
arg_1, …, arg_n spezifiert wird. Die Argumente sind
Optionsvariablen (Boolsche Variablen), Zuweisungen, Gleichungen und Funktionen.
ev
gibt das Ergebnis der Auswertung zurück.
Die Auswertung wird in den folgenden Schritten durchgeführt:
simp
bewirkt, dass der Ausdruck expr vereinfacht wird. Der Wert
der Optionsvariablen simp
wird dabei ignoriert. Der Ausdruck wird also
auch vereinfacht, wenn die Optionsvariable simp den Wert false
hat.
noeval
unterdrückt die Auswertungphase der Funktion ev
(siehe
Schritt (4) unten). Dies ist nützlich im Zusammenhang mit anderen Schaltern
und um einen Ausdruck expr erneuert zu vereinfachen, ohne dass dieser
ausgewertet wird.
nouns
bewirkt die Auswertung von Substantivformen. Solche
Substantivformen sind typischerweise nicht ausgewertete Funktionen wie
'integrate
oder 'diff
, die im Ausdruck expr enthalten sind.
expand
bewirkt die Expansion des Ausdruckes expr. Siehe die
Funktion expand
.
expand
(m, n) bewirkt die Expansion des Ausdruckes expr,
wobei den Optionsvariablen maxposex
und maxnegex
die Werte der
Argumente m und n zugewiesen werden. Siehe die Funktion
expand
.
detout
bewirkt, dass bei der Berechnung von Inversen von Matrizen, die im
Ausdruck expr enthalten sind, Determinaten den Matrizen vorangestellt
und nicht elementweise in die Matrize hereinmultipliziert werden.
diff
bewirkt, dass alle Ableitungen ausgeführt werden, die im Ausdruck
expr enhalten sind.
derivlist(x, y, z, ...)
bewirkt, dass die Ableitungen
bezüglich der angegebenen Variablen x, y, z, …
ausgeführt werden.
risch
bewirkt das Integrale in expr mit dem Risch-Algorithmus
berechnet werden. Siehe risch
. Wird der Schalter nouns
benutzt,
wird der Standardalgorithmus für Integrale verwendet.
float
bewirkt, dass rationale Zahlen in Gleitkommazahlen konvertiert
werden.
numer
bewirkt, dass mathematische Funktionen mit numerischen Argumenten
ein Ergebnis in Gleitkommazahlen liefern. Variable in expr
, denen
numerische Werte zugewiesen wurden, werden durch diese ersetzt. Der Schalter
float
wird zusätzlich wirksam.
pred
bewirkt, dass Aussagen zu true
oder false
ausgewertet
werden.
eval
bewirkt eine zusätzliche Auswertung des Ausdrucks expr.
(Siehe Schritt (5) unten). eval
kann mehrfach angewendet werden. Jedes
Auftreten von eval
führt zu einer weiteren Auswertung.
A
, wobei A
ein Symbol ist, das als ein Auswertungsschalter
evflag
definiert ist. Während der Auswertung des Ausdrucks expr
erhält A
den Wert true
.
V: expression
(oder alternativ V=expression
) bewirkt, dass
V
während der Auswertung des Ausdrucks expr den Wert
expression
erhält. V
kann auch eine Optionsvariable sein, die
für die Auswertung den Wert expression
erhält. Wenn mehr als ein
Argument der Funktion ev
übergeben wird, wird die Zuweisung der Werte
parallel ausgeführt. Wenn V
kein Atom ist, wird anstatt einer
Zuweisung eine Substitution ausgeführt.
F
, wobei F
der Name einer Funktion ist, die als eine
Auswertungsfunktion (siehe evfun
) definiert wurde. F
bewirkt,
dass die Auswertungsfunktion auf den Ausdruck expr angewendet wird.
sum
) bewirkt, dass jedes
Auftreten dieser Funktion im Ausdruck expr ausgewertet wird.
F(x) := expression
definiert werden.
ev
betrachtet. Dies erlaubt, das eine Liste mit
Gleichungen (zum Beispiel [%t1, %t2]
, wobei %t1
und %t2
Gleichungen sind) wie sie zum Beispiel von der Funktion solve
erzeugt
wird, als Argument verwendet werden kann.
Die Argumente der Funktion ev
können in einer beliebigen Reihenfolge
übergeben werden. Ausgenommen sind Gleichungen mit Substitutionen, die
nacheinander von links nach rechts ausgewertet werden, sowie
Auswertungsfunktionen, die verkettet werden. So wird zum Beispiel
ev(expr, ratsimp, realpart)
zu
realpart(ratsimp(expr))
.
Die Schalter simp
,
numer
,
float
und
detout
sind auch Optionsvariablen, die lokal in einem Block oder global
gesetzt werden können.
Ist expr ein kanonischer rationaler Ausdruck (CRE = canonical rational
expression), ist auch das Ergebnis der Funktion ev
ein CRE-Ausdruck,
falls nicht die beiden Schalter float
und numer
den Wert
true
haben.
%i2
im
Beispiel unten oder das letzte Ergebnis %
, so wird in diesem Schritt der
globale Wert dieser Marke eingesetzt und die Bearbeitung durch ev
fortgesetzt.
noeval
unter den Argumente ist, und vereinfacht. Die Funktionsaufrufe in expr
werden erst ausgeführt, wenn die enthaltenden Variablen ausgewertet sind.
Dadurch verhält sich ev(F(x))
wie F(ev(x))
.
eval
in den Argumenten werden die
Schritte (3) und (4) wiederholt.
Beispiele:
(%i1) sin(x) + cos(y) + (w+1)^2 + 'diff (sin(w), w); d 2 (%o1) cos(y) + sin(x) + -- (sin(w)) + (w + 1) dw (%i2) ev (%, numer, expand, diff, x=2, y=1); 2 (%o2) cos(w) + w + 2 w + 2.449599732693821
Anstatt der Anwendung der Funktion ev
können alternativ der Ausdruck
und die Argumente durch Kommata getrennt eingegeben werden
expr, arg_1, …, arg_n
Diese Kurzschreibweise ist jedoch als Teil eines anderen Ausdrucks, zum Beispiel in Funktionen, Blöcken, usw., nicht gestattet.
Im folgenden Beispiel werden die Zuweisungen parallel durchgeführt.
(%i3) programmode: false; (%o3) false (%i4) x+y, x: a+y, y: 2; (%o4) y + a + 2 (%i5) 2*x - 3*y = 3$ (%i6) -3*x + 2*y = -4$ (%i7) solve ([%o5, %o6]); Solution 1 (%t7) y = - - 5 6 (%t8) x = - 5 (%o8) [[%t7, %t8]] (%i8) %o6, %o8; (%o8) - 4 = - 4 (%i9) x + 1/x > gamma (1/2); 1 (%o9) x + - > sqrt(%pi) x (%i10) %, numer, x=1/2; (%o10) 2.5 > 1.772453850905516 (%i11) %, pred; (%o11) true
Als Argument des Kommandos ev(expr, eval)
bewirkt eval
eine
zusätzliche Auswertung des Ausdrucks expr
.
Beispiele:
(%i1) [a:b,b:c,c:d,d:e]; (%o1) [b, c, d, e] (%i2) a; (%o2) b (%i3) ev(a); (%o3) c (%i4) ev(a),eval; (%o4) e (%i5) a,eval,eval; (%o5) e
Wenn ein Symbol x die Eigenschaft eines Auswertungsschalters besitzt, sind
die Ausdrücke ev(expr, x)
und expr, x
äquivalent zu ev(expr, x = true)
. Während der Auswertung
von expr erhält also x den Wert true
.
Mit declare(x, evflag)
wird der Variablen x die
evflag
-Eigenschaft gegeben. Mit kill
oder remove
kann
diese Eigenschaft wieder entfernt werden. Siehe auch properties
für
die Anzeige von Eigenschaften.
Folgende Optionsvariablen haben bereits die evflag
-Eigenschaft:
algebraic
,
cauchysum
,
demoivre
,
dotscrules
,
%emode
,
%enumer
,
exponentialize
,
exptisolate
,
factorflag
,
float
,
halfangles
,
infeval
,
isolate_wrt_times
,
keepfloat
,
letrat
,
listarith
,
logabs
,
logarc
,
logexpand
,
lognegint
,
lognumer
,
m1pbranch
,
numer_pbranch
,
programmode
,
radexpand
,
ratalgdenom
,
ratfac
,
ratmx
,
ratsimpexpons
,
simp
,
simpproduct
,
simpsum
,
sumexpand
, und
trigexpand
.
Beispiele:
(%i1) sin (1/2); 1 (%o1) sin(-) 2 (%i2) sin (1/2), float; (%o2) 0.479425538604203 (%i3) sin (1/2), float=true; (%o3) 0.479425538604203 (%i4) simp : false; (%o4) false (%i5) 1 + 1; (%o5) 1 + 1 (%i6) 1 + 1, simp; (%o6) 2 (%i7) simp : true; (%o7) true (%i8) sum (1/k^2, k, 1, inf); inf ==== \ 1 (%o8) > -- / 2 ==== k k = 1 (%i9) sum (1/k^2, k, 1, inf), simpsum; 2 %pi (%o9) ---- 6 (%i10) declare (aa, evflag); (%o10) done (%i11) if aa = true then YES else NO; (%o11) NO (%i12) if aa = true then YES else NO, aa; (%o12) YES
Wenn eine Funktion F die Eigenschaft evfun
besitzt, sind die
Ausdrücke ev(expr, F)
und expr, F
äquivalent zu F(ev(expr))
.
Zwei oder mehr evfun
-Funktionen F, G, … werden in der
aufgeführten Reihenfolge auf den Ausdruck expr angewendet.
Mit declare(F, evfun)
wird der Funktion F die
evfun
-Eigenschaft gegeben. Mit kill
oder remove
kann diese
Eigenschaft wieder entfernt werden. Siehe auch properties
für die
Anzeige von Eigenschaften.
Funktionen, die bereits die evfun
-Eigenschaft besitzen, sind:
bfloat
,
factor
,
fullratsimp
,
logcontract
,
polarform
,
radcan
,
ratexpand
,
ratsimp
,
rectform
,
rootscontract
,
trigexpand
und
trigreduce
.
Beispiele:
(%i1) x^3 - 1; 3 (%o1) x - 1 (%i2) x^3 - 1, factor; 2 (%o2) (x - 1) (x + x + 1) (%i3) factor (x^3 - 1); 2 (%o3) (x - 1) (x + x + 1) (%i4) cos(4 * x) / sin(x)^4; cos(4 x) (%o4) -------- 4 sin (x) (%i5) cos(4 * x) / sin(x)^4, trigexpand; 4 2 2 4 sin (x) - 6 cos (x) sin (x) + cos (x) (%o5) ------------------------------------- 4 sin (x) (%i6) cos(4 * x) / sin(x)^4, trigexpand, ratexpand; 2 4 6 cos (x) cos (x) (%o6) - --------- + ------- + 1 2 4 sin (x) sin (x) (%i7) ratexpand (trigexpand (cos(4 * x) / sin(x)^4)); 2 4 6 cos (x) cos (x) (%o7) - --------- + ------- + 1 2 4 sin (x) sin (x) (%i8) declare ([F, G], evfun); (%o8) done (%i9) (aa : bb, bb : cc, cc : dd); (%o9) dd (%i10) aa; (%o10) bb (%i11) aa, F; (%o11) F(cc) (%i12) F (aa); (%o12) F(bb) (%i13) F (ev (aa)); (%o13) F(cc) (%i14) aa, F, G; (%o14) G(F(cc)) (%i15) G (F (ev (aa))); (%o15) G(F(cc))
Standardwert: false
infeval
bewirkt, dass ev
die Auswertung eines Ausdrucks solange
wiederholt, bis dieser sich nicht mehr ändert. Um zu verhindern, dass eine
Variable in diesem Modus durch die Auswertung verschwindet, kann zum Beispiel
für eine Variable x
der Ausdruck x='x
als Argument von ev
einfügt werden. Ausdrücke wie ev(x, x=x+1, infeval)
führen in
diesem Modus zu Endlosschleifen.
noeval
unterdrückt die Auswertungsphase der Funktion ev
.
.
Dies kann im Zusammenhang mit anderen Auswertungsflags genutzt werden, um einen
Ausdruck erneut zu vereinfachen, ohne diesen auszuwerten.
nouns
ist ein Auswertungsschalter evflag
. Wird dieser Schalter
als eine Option der Funktion ev
genutzt, werden alle Substantivformen,
die in dem Ausdruck enthalten sind, in Verbformen umgewandelt und ausgewertet.
Siehe auch noun
,
nounify
,
verb
und
verbify
.
Wird pred
als ein Argument der Funktion ev
eingesetzt, werden
Aussagen zu true
oder false
ausgewertet. Siehe ev
.
Beispiel:
(%i1) 1 < 2; (%o1) 1 < 2 (%i2) 1 < 2,pred; (%o2) true
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